Exercices Corrigés
CHAPITRE 2 – PROPAGATION D’UN SIGNAL
2.6 Trains d’ondes
1. s(x,t) = s(0,t − x/c), donc :
s(x,t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
s ix > ct
sin
2πt
T
−
2πx
cT
si c(t − τ) < x ≤ ct
0
s ix ≤ c(t − τ)
La longueur du train d’onde dans l’espace est : L = cτ.
x
x
L
0
s(x,t)
cτ/2
cτ/2
3cτ/2
t = τ/2
t = 3τ/2
2. Sur le graphe de s(0,t) on constate que les oscillations ne sont plus visibles en gros à partir
de t = 6τ. Plus précisément, pour t > 6τ, exp
−
t
τ
< exp(−6) = 2, 5.10
−3 donc l’amplitude
d’oscillation est inférieure à
1
400
de sa valeur initiale. Ceci justifie le fait de considérer que la
durée du train d’onde est 6τ. Dans ce cas la longueur du train d’onde dans l’espace est 6cτ,
comme on peut le voir sur la partie droite de la figure ci-dessous.
x
t
0
0
s(0,t)
s(x, 6τ)
6cτ
T
6τ
2.7 Propagation d’un signal périodique
1. La longueur d’onde associée au fondamental, composante sinusoïdale de fréquence f S , est
λ 1 =
c
f S
. La longueur d’onde associée à l’harmonique de rang n est λ n =
c
n f S
=
λ 1
n
.
La période spatiale de l’onde est λ 1 .
2. Le phénomène de propagation à la célérité c dans le sens positif de l’axe (Ox) se traduit
par la relation :
s(x 0 ,t) = s
0,t −
x 0
c
=
∞
∑
n=1
A n cos
2πn f s t − 2πn
f s
c
x 0 + ϕ n
.
On trouve bien la forme attendue, avec : A
n = A n et ϕ
n = ϕ n − 2πn
f S
c
x 0 = ϕ n − 2π
x 0
λ n
. On
remarque que le retard de phase dû à la propagation dépend de l’ordre n de l’harmonique.
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