Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
2. Le mouvement est plan pour chaque orbite ainsi que pour la trajectoire de transfert. Les
conditions initiales d’une orbite sont les conditions finales de la trajectoire précédente donc
les trois orbites évoluent dans un même plan qui est forcément le plan équatorial puisque le
mouvement final est géostationnaire.
3. On projète le principe fondamental de la dynamique appliqué au satellite sur − → u r soit
−m
v
2
r
= −
GM T m
r 2 donc v =
GM T
r
. Dans le cas d’une orbite basse à l’altitude z R T ,
on a r R T et v B =
GM T
R T
.
4. L’application numérique donne v B = 7, 91.10 3 m.s −1 = 28, 5.10 3 km.h −1 .
5. On applique la troisième loi de Kepler soit
T 2
R 3
G
=
4π 2
GM T
. On en déduit R G =
3
GM T T 2
4π 2 .
6. L’application numérique donne R G = 42, 2.10 3 km.
7. Pour obtenir l’altitude, il suffit de retrancher au rayon qui vient d’être trouvé le rayon
terrestre soit h = R G − R T = 35, 8.10 3 km.
8. On a la même relation qu’à la question 3 avec r = R G soit
v G =
GM T
R G
= 3, 07.10
3 m.s
−1
= 11, 1.10
3 km.h
−1
.
9. Les points A et P correspondent respectivement à l’apogée et au périgée. En ces points, la
vitesse est orthoradiale car on a un extremum de la distance au centre de la Terre autrement
dit r est maximal ou ˙
r = 0, cette dernière relation impliquant que la composante radiale de la
vitesse est nulle. On en déduit qu’en ces points v = v θ = r ˙
θ et en utilisant la constante des
aires, on en déduit C = r 2 ˙
θ = r A v A = r P v P .
10. L’énergie mécanique Em est conservée. En exprimant l’énergie mécanique à l’apogée et
au périgé, on pourra écrire l’égalité des deux expressions obtenues. A l’apogée, on a Em =
1
2
mv
2
A −
GM T m
r A
et au périgée Em =
1
2
mv
2
P −
GM T m
r P
. En multipliant la première relation par
r 2
A et la seconde par r 2
P avant de les soustraire, on obtient
r 2
A − r 2
P
Em =
1
2
m
r
2
A v
2
A − r
2
P v
2
P
−
GM T m (r A − r P ) avec la conservation de l’énergie mécanique. La relation établie à la question
précédente permet d’obtenir r 2
A v 2
A − r 2
P v 2
P = 0 et en factorisant r 2
A − r 2
P = (r A − r P ) (r A + r P ),
on en déduit (r A − r P )(r A + r P ) Em = −GM T m (r A − r P ). Or r A + r P = 2a donc en simplifiant
par r A − r P = 0, on a l’expression demandée Em = −
GM T m
2a
.
11. On utilise le fait que 2a = R G + R T pour déterminer la valeur numérique de l’énergie
mécanique Em = −1, 23.10 10 J.
12. L’énergie mécanique s’écrit dans le cas général :
Em =
1
2
mv
2
−
GM T m
r
= −
GM T m
R G + R T
par conservation de l’énergie mécanique. On en déduit :
v =
2GM T
1
r
−
1
R G + R T
.
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CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
2. Le mouvement est plan pour chaque orbite ainsi que pour la trajectoire de transfert. Les
conditions initiales d’une orbite sont les conditions finales de la trajectoire précédente donc
les trois orbites évoluent dans un même plan qui est forcément le plan équatorial puisque le
mouvement final est géostationnaire.
3. On projète le principe fondamental de la dynamique appliqué au satellite sur − → u r soit
−m
v
2
r
= −
GM T m
r 2 donc v =
GM T
r
. Dans le cas d’une orbite basse à l’altitude z R T ,
on a r R T et v B =
GM T
R T
.
4. L’application numérique donne v B = 7, 91.10 3 m.s −1 = 28, 5.10 3 km.h −1 .
5. On applique la troisième loi de Kepler soit
T 2
R 3
G
=
4π 2
GM T
. On en déduit R G =
3
GM T T 2
4π 2 .
6. L’application numérique donne R G = 42, 2.10 3 km.
7. Pour obtenir l’altitude, il suffit de retrancher au rayon qui vient d’être trouvé le rayon
terrestre soit h = R G − R T = 35, 8.10 3 km.
8. On a la même relation qu’à la question 3 avec r = R G soit
v G =
GM T
R G
= 3, 07.10
3 m.s
−1
= 11, 1.10
3 km.h
−1
.
9. Les points A et P correspondent respectivement à l’apogée et au périgée. En ces points, la
vitesse est orthoradiale car on a un extremum de la distance au centre de la Terre autrement
dit r est maximal ou ˙
r = 0, cette dernière relation impliquant que la composante radiale de la
vitesse est nulle. On en déduit qu’en ces points v = v θ = r ˙
θ et en utilisant la constante des
aires, on en déduit C = r 2 ˙
θ = r A v A = r P v P .
10. L’énergie mécanique Em est conservée. En exprimant l’énergie mécanique à l’apogée et
au périgé, on pourra écrire l’égalité des deux expressions obtenues. A l’apogée, on a Em =
1
2
mv
2
A −
GM T m
r A
et au périgée Em =
1
2
mv
2
P −
GM T m
r P
. En multipliant la première relation par
r 2
A et la seconde par r 2
P avant de les soustraire, on obtient
r 2
A − r 2
P
Em =
1
2
m
r
2
A v
2
A − r
2
P v
2
P
−
GM T m (r A − r P ) avec la conservation de l’énergie mécanique. La relation établie à la question
précédente permet d’obtenir r 2
A v 2
A − r 2
P v 2
P = 0 et en factorisant r 2
A − r 2
P = (r A − r P ) (r A + r P ),
on en déduit (r A − r P )(r A + r P ) Em = −GM T m (r A − r P ). Or r A + r P = 2a donc en simplifiant
par r A − r P = 0, on a l’expression demandée Em = −
GM T m
2a
.
11. On utilise le fait que 2a = R G + R T pour déterminer la valeur numérique de l’énergie
mécanique Em = −1, 23.10 10 J.
12. L’énergie mécanique s’écrit dans le cas général :
Em =
1
2
mv
2
−
GM T m
r
= −
GM T m
R G + R T
par conservation de l’énergie mécanique. On en déduit :
v =
2GM T
1
r
−
1
R G + R T
.
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