Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
5. On définit le système de coordonnée polaire sur la figure 20.12. Dans ces conditions, le
mouvement de M étant situé dans le plan xOy, on utilise les relations du cours de cinématique
du point :
− − →
OM = r − → u r ; − → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ .
On en déduit
− →
L O = m
− − →
OM ∧ −
→ v = mr 2 ˙
θ −
→ u z . On pose C = r 2 ˙
θ = bv 0 la constante des aires.
6. On écrit ensuite l’énergie mécanique massique à l’instant t :
E m = E c + E p =
1
2
mv
2
− m
G M S
r
=
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 ˙
θ
2
− m
G M S
r
=
1
2
m˙ r
2
+ E p,e f f (r),
avec E p,e f f (r) =
1
2
mr
2 ˙
θ
2
− m
G M S
r
. Comme C = r 2 ˙
θ = bv 0 , on a ˙
θ
2
=
bv 0
r 2
2
puis :
E p,e f f (r) =
1
2
m
b 2 v 2
0
r 2 − m
G M S
r
.
7. On trace alors l’allure de E p,e f f (r) qui est la même que dans le cours figure 20.4. L’énergie
mécanique étant positive, le météorite est dans un état de diffusion et sa trajectoire n’est pas
bornée.
8. Sa distance au Soleil sera minimale lorsque E m = E p,e f f (r) soit lorsque :
1
2
mv
2
0 =
1
2
m
b 2 v 2
0
r 2 − m
G M S
r
⇒ r
2
+ r
2G M S
v 2
0
− b
2
= 0.
On reconnaît un polynôme du deuxième ordre en r dont on ne retient que la racine positive :
r min = b
⎛
⎝ −
G M S
bv 2
0
+
G M S
bv 2
0
2
+ 1
⎞
⎠ .
9. Si r min est inférieure au rayon du Soleil, le météorite ira s’écraser sur la surface de Soleil.
En pratique, s’il s’en approche de trop près, il se brise sous l’action de la chaleur dégagée par
le Soleil ou des forces de marée exercée par le Soleil.
20.7 Changement d’orbite d’un satellite
1. On étudie le satellite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il est soumis à la
force
− →
f = −
GM T m
r 2
− → u r qui est une force centrale. Par conséquent, le moment de cette force
par rapport au centre de la Terre est nul et le moment cinétique est constant. Le mouvement a
donc lieu dans le plan contenant le centre de la Terre.
Comme le satellite est géostationnaire, il suit la Terre dans sa rotation sur elle-même donc son
mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre sur elle-même.
Le seul plan à la fois perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre sur elle-même et passant
par son centre est le plan équatorial. C’est donc dans ce plan qu’a lieu le mouvement d’un
satellite géostationnaire.
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CORRIGÉS
5. On définit le système de coordonnée polaire sur la figure 20.12. Dans ces conditions, le
mouvement de M étant situé dans le plan xOy, on utilise les relations du cours de cinématique
du point :
− − →
OM = r − → u r ; − → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ .
On en déduit
− →
L O = m
− − →
OM ∧ −
→ v = mr 2 ˙
θ −
→ u z . On pose C = r 2 ˙
θ = bv 0 la constante des aires.
6. On écrit ensuite l’énergie mécanique massique à l’instant t :
E m = E c + E p =
1
2
mv
2
− m
G M S
r
=
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 ˙
θ
2
− m
G M S
r
=
1
2
m˙ r
2
+ E p,e f f (r),
avec E p,e f f (r) =
1
2
mr
2 ˙
θ
2
− m
G M S
r
. Comme C = r 2 ˙
θ = bv 0 , on a ˙
θ
2
=
bv 0
r 2
2
puis :
E p,e f f (r) =
1
2
m
b 2 v 2
0
r 2 − m
G M S
r
.
7. On trace alors l’allure de E p,e f f (r) qui est la même que dans le cours figure 20.4. L’énergie
mécanique étant positive, le météorite est dans un état de diffusion et sa trajectoire n’est pas
bornée.
8. Sa distance au Soleil sera minimale lorsque E m = E p,e f f (r) soit lorsque :
1
2
mv
2
0 =
1
2
m
b 2 v 2
0
r 2 − m
G M S
r
⇒ r
2
+ r
2G M S
v 2
0
− b
2
= 0.
On reconnaît un polynôme du deuxième ordre en r dont on ne retient que la racine positive :
r min = b
⎛
⎝ −
G M S
bv 2
0
+
G M S
bv 2
0
2
+ 1
⎞
⎠ .
9. Si r min est inférieure au rayon du Soleil, le météorite ira s’écraser sur la surface de Soleil.
En pratique, s’il s’en approche de trop près, il se brise sous l’action de la chaleur dégagée par
le Soleil ou des forces de marée exercée par le Soleil.
20.7 Changement d’orbite d’un satellite
1. On étudie le satellite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il est soumis à la
force
− →
f = −
GM T m
r 2
− → u r qui est une force centrale. Par conséquent, le moment de cette force
par rapport au centre de la Terre est nul et le moment cinétique est constant. Le mouvement a
donc lieu dans le plan contenant le centre de la Terre.
Comme le satellite est géostationnaire, il suit la Terre dans sa rotation sur elle-même donc son
mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre sur elle-même.
Le seul plan à la fois perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre sur elle-même et passant
par son centre est le plan équatorial. C’est donc dans ce plan qu’a lieu le mouvement d’un
satellite géostationnaire.
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