Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
20.5 Modèle de bohr de l’atome d’hydrogène
On étudie le mouvement de l’électron dans le référentiel lié au noyau supposé galiléen.
L’électron est animé d’un mouvement circulaire et uniforme de centre O. On l’étudie en
coordonnées polaires d’origine O. Dans ce système de coordonnées :
− − →
OM = r − → u r puis − → v = r ˙
θ −
→ u r et −
→ a = −
v 2
r
− → u r
où r est la distance séparant le noyau de l’électron.
1. La seule force dont il faut tenir compte est la force d’interaction coulombienne qu’exerce
le noyau de charge +e sur l’électron de charge −e :
− →
f = −
e 2
4πε 0 r 2
−
→ u r qui dérive de l’énergie
potentielle E p = −
e
2
4πε 0 r
. On peut négliger l’interaction gravitationnelle.
2. On projette le principe fondamental de la dynamique sur le vecteur − → u r et on obtient :
−m e
v 2
n
r n
= −
e 2
4πε 0 r 2 ⇒ v
2
n =
e 2
4πε 0 m e r n
.
3. Le module du moment cinétique s’écrit : L O n = m e r n v n =
nh
2π
. On écrit alors le carré de la
vitesse de deux manière et on obtient : v 2 =
e 2
4πε 0 m e r
=
n 2 h 2
4π 2 m 2
e r 2 soit r =
n 2 h 2 ε 0
πm e e 2 .
4. Application numérique pour n = 1 : r = 53 pm.
5. L’énergie mécanique vaut : E m (n) = Ec + E p =
1
2
m e v
2
n −
e
2
4πε 0 r n
= −
e
2
8πε 0 r n
. De plus,
r =
n 2 h 2 ε 0
πm e e 2 donc :
E m (n) = −
e 4 m e
8ε 2
0 h 2
1
n 2 = −
A
n 2 avec A =
e 4 m e
8ε 2
0 h 2 = 2,17.10
−18 J = 13,6 eV.
6. ΔE = A
1
n 2
2
−
1
n 2
1
= hν = h
c
λ
donc
1
λ
=
A
hc
1
n 2
2
−
1
n 2
1
= R H
1
n 2
2
−
1
n 2
1
,
avec R H =
A
hc
=
e 4 m e
8ε 2
0 ch 3 = 1,09.10
7 m
−1 .
7. Les longueurs d’onde visibles sont comprises entre 400 et 800 nm environ.
Pour la série de Lyman (n 2 = 1), on a : pour n 1 = 2, λ = 122 nm ; pour n 1 = 3, λ = 103 nm
et pour toutes les valeurs supérieures de n 1 les longueurs d’onde seront plus faibles. On n’a
donc aucune raie dans le domaine visible, elles sont toutes dans le domaine ultra-violet.
Pour la série de Balmer (n 2 = 2), on a : pour n 1 = 3, λ = 660 nm ; pour n 1 = 4, λ = 489 nm ;
pour n 1 = 5, λ = 436 nm ; pour n 1 = 6, λ = 412 nm ; pour n 1 = 7, λ = 399 nm et pour toutes
les valeurs supérieures de n 1 les longueurs d’onde seront plus faibles. On a donc quatre raies
(pour n 1 égal à 3, 4, 5 et 6) dans le domaine visible.
Ces raies et leurs longueurs d’ondes prédites par le modèle correspondent à celles que l’on
mesure expérimentalement à l’aide d’un spectroscope.
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CORRIGÉS
20.5 Modèle de bohr de l’atome d’hydrogène
On étudie le mouvement de l’électron dans le référentiel lié au noyau supposé galiléen.
L’électron est animé d’un mouvement circulaire et uniforme de centre O. On l’étudie en
coordonnées polaires d’origine O. Dans ce système de coordonnées :
− − →
OM = r − → u r puis − → v = r ˙
θ −
→ u r et −
→ a = −
v 2
r
− → u r
où r est la distance séparant le noyau de l’électron.
1. La seule force dont il faut tenir compte est la force d’interaction coulombienne qu’exerce
le noyau de charge +e sur l’électron de charge −e :
− →
f = −
e 2
4πε 0 r 2
−
→ u r qui dérive de l’énergie
potentielle E p = −
e
2
4πε 0 r
. On peut négliger l’interaction gravitationnelle.
2. On projette le principe fondamental de la dynamique sur le vecteur − → u r et on obtient :
−m e
v 2
n
r n
= −
e 2
4πε 0 r 2 ⇒ v
2
n =
e 2
4πε 0 m e r n
.
3. Le module du moment cinétique s’écrit : L O n = m e r n v n =
nh
2π
. On écrit alors le carré de la
vitesse de deux manière et on obtient : v 2 =
e 2
4πε 0 m e r
=
n 2 h 2
4π 2 m 2
e r 2 soit r =
n 2 h 2 ε 0
πm e e 2 .
4. Application numérique pour n = 1 : r = 53 pm.
5. L’énergie mécanique vaut : E m (n) = Ec + E p =
1
2
m e v
2
n −
e
2
4πε 0 r n
= −
e
2
8πε 0 r n
. De plus,
r =
n 2 h 2 ε 0
πm e e 2 donc :
E m (n) = −
e 4 m e
8ε 2
0 h 2
1
n 2 = −
A
n 2 avec A =
e 4 m e
8ε 2
0 h 2 = 2,17.10
−18 J = 13,6 eV.
6. ΔE = A
1
n 2
2
−
1
n 2
1
= hν = h
c
λ
donc
1
λ
=
A
hc
1
n 2
2
−
1
n 2
1
= R H
1
n 2
2
−
1
n 2
1
,
avec R H =
A
hc
=
e 4 m e
8ε 2
0 ch 3 = 1,09.10
7 m
−1 .
7. Les longueurs d’onde visibles sont comprises entre 400 et 800 nm environ.
Pour la série de Lyman (n 2 = 1), on a : pour n 1 = 2, λ = 122 nm ; pour n 1 = 3, λ = 103 nm
et pour toutes les valeurs supérieures de n 1 les longueurs d’onde seront plus faibles. On n’a
donc aucune raie dans le domaine visible, elles sont toutes dans le domaine ultra-violet.
Pour la série de Balmer (n 2 = 2), on a : pour n 1 = 3, λ = 660 nm ; pour n 1 = 4, λ = 489 nm ;
pour n 1 = 5, λ = 436 nm ; pour n 1 = 6, λ = 412 nm ; pour n 1 = 7, λ = 399 nm et pour toutes
les valeurs supérieures de n 1 les longueurs d’onde seront plus faibles. On a donc quatre raies
(pour n 1 égal à 3, 4, 5 et 6) dans le domaine visible.
Ces raies et leurs longueurs d’ondes prédites par le modèle correspondent à celles que l’on
mesure expérimentalement à l’aide d’un spectroscope.
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