Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
1. La résultante des forces est colinéaire au vecteur position. Son moment
− − →
M O par rapport à
O est nul. Le théorème du moment cinétique implique que
d
− →
L O
dt
=
− − →
M O =
− →
0 . Par conséquent
que
− →
L O est une constante du mouvement.
2. Si la valeur du moment cinétique est nulle, le mouvement est rectiligne. Sinon, on pose
− → u z =
− →
L O
− →
L O
et comme
− − →
OM est perpendiculaire à
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v (propriété du produit vectoriel), il est perpendiculaire à −
→ u z . Le point M se déplace donc dans le plan xOy.
3. Dans ce plan, on utilise les coordonnées polaires et on a :
− − →
OM = r − → u r et −
→ v = ˙
r − → u r +r ˙
θ − →
u θ . On
en déduit l’expression du moment cinétique en O :
− →
L O =
− − →
OM ∧m − → v = r − → u r ∧m
˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ
=
mr 2 ˙
θ −
→ u z . On peut définir la constante des aires par C = r 2 ˙
θ .
4. Le mouvement étant circulaire, r est une constante. C = r 2 ˙
θ est aussi une constante donc
˙
θ l’est également. Le mouvement est circulaire et uniforme.
5. Pour un mouvement circulaire et uniforme, l’étude cinématique donne
− − →
OM = r − → u r , − → v =
r ˙
θ − →
u θ et − → a = −
v 2
r
− → u r . La projection du principe fondamental de la dynamique sur − → u r donne
−m
v 2
r
= −
GM T m
r 2 soit v =
GM T
r
.
6. La vitesse étant constante, v =
2πr
T
=
GM T
r
puis
T 2
r 3 =
4π 2
GM T
(troisième loi de Kepler).
7. L’énergie cinétique vaut Ec =
1
2
mv
2
=
GmM T
2r
.
8. Quant à l’énergie potentielle, elle vaut E p = −
GmM T
r
= −2Ec.
9. On en déduit l’énergie mécanique Em = Ec + E p = −
GmM T
2r = −Ec =
E p
2
.
10. L’application du théorème de l’énergie cinétique au satellite donne :
dE c
dt
= P
− →
F G
+ P
− →
f
= −
dE p
dt
+ P
− →
f
⇒
dE m
dt
= P
− →
f
=
− →
f · −
→ v .
Or
dE m
dt
=
GmM T
2r 2
dr
dt
et P
− →
f
=
− →
f · − → v = −αmv
3
= −αm
GM T
r
3
2
. En combinant ces
deux équation on aboutit à :
dr
dt
= −2α (GM T )
1
2 r
1
2 .
11. On aboutit à ˙
r < 0. r diminue au cours du temps. Le satellite tombe sur la Terre.
12. Au cours de sa chute, l’énergie cinétique Ec =
GmM T
2r
augmente car
1
r
est une fonction décroissante. La vitesse du satellite augmente. L’existence d’une force de frottement
provoque une augmentation de la vitesse, ce qui est contre intuitif.
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CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
1. La résultante des forces est colinéaire au vecteur position. Son moment
− − →
M O par rapport à
O est nul. Le théorème du moment cinétique implique que
d
− →
L O
dt
=
− − →
M O =
− →
0 . Par conséquent
que
− →
L O est une constante du mouvement.
2. Si la valeur du moment cinétique est nulle, le mouvement est rectiligne. Sinon, on pose
− → u z =
− →
L O
− →
L O
et comme
− − →
OM est perpendiculaire à
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v (propriété du produit vectoriel), il est perpendiculaire à −
→ u z . Le point M se déplace donc dans le plan xOy.
3. Dans ce plan, on utilise les coordonnées polaires et on a :
− − →
OM = r − → u r et −
→ v = ˙
r − → u r +r ˙
θ − →
u θ . On
en déduit l’expression du moment cinétique en O :
− →
L O =
− − →
OM ∧m − → v = r − → u r ∧m
˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ
=
mr 2 ˙
θ −
→ u z . On peut définir la constante des aires par C = r 2 ˙
θ .
4. Le mouvement étant circulaire, r est une constante. C = r 2 ˙
θ est aussi une constante donc
˙
θ l’est également. Le mouvement est circulaire et uniforme.
5. Pour un mouvement circulaire et uniforme, l’étude cinématique donne
− − →
OM = r − → u r , − → v =
r ˙
θ − →
u θ et − → a = −
v 2
r
− → u r . La projection du principe fondamental de la dynamique sur − → u r donne
−m
v 2
r
= −
GM T m
r 2 soit v =
GM T
r
.
6. La vitesse étant constante, v =
2πr
T
=
GM T
r
puis
T 2
r 3 =
4π 2
GM T
(troisième loi de Kepler).
7. L’énergie cinétique vaut Ec =
1
2
mv
2
=
GmM T
2r
.
8. Quant à l’énergie potentielle, elle vaut E p = −
GmM T
r
= −2Ec.
9. On en déduit l’énergie mécanique Em = Ec + E p = −
GmM T
2r = −Ec =
E p
2
.
10. L’application du théorème de l’énergie cinétique au satellite donne :
dE c
dt
= P
− →
F G
+ P
− →
f
= −
dE p
dt
+ P
− →
f
⇒
dE m
dt
= P
− →
f
=
− →
f · −
→ v .
Or
dE m
dt
=
GmM T
2r 2
dr
dt
et P
− →
f
=
− →
f · − → v = −αmv
3
= −αm
GM T
r
3
2
. En combinant ces
deux équation on aboutit à :
dr
dt
= −2α (GM T )
1
2 r
1
2 .
11. On aboutit à ˙
r < 0. r diminue au cours du temps. Le satellite tombe sur la Terre.
12. Au cours de sa chute, l’énergie cinétique Ec =
GmM T
2r
augmente car
1
r
est une fonction décroissante. La vitesse du satellite augmente. L’existence d’une force de frottement
provoque une augmentation de la vitesse, ce qui est contre intuitif.
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