Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
20.3 Energie nécessaire pour mettre un satellite artificiel en orbite
1. Le référentiel d’étude de ce type de mouvements est le référentiel géocentrique.
2. Energie d’un satellite artificiel en orbite
a. E p = −
G mM T
r
= −
G mM T
R T + z
où R T et M T sont le rayon et la masse de la Terre.
b. Le mouvement circulaire du satellite est étudié en coordonnées polaires dont l’origine
est confondue avec le centre de la Terre. Le satellite étudié n’est soumis qu’à l’attraction
gravitationnelle de la Terre. On applique le principe fondamental de la dynamique au satellite
dans le référentiel géocentrique galiléen en projection sur − → u r :
−m
v 2
r
= −
G mM T
r 2
⇒ v =
G M T
r
=
G M T
R T + z
.
c. On trouve E c =
1
2
mv 2 =
1
2
G mM T
R T + z
puis E m = E c + E p = −
1
2
G mM T
R T + z
. Etant donné que
l’énergie potentielle du satellite est en forme de puits dont le maximum est égal à 0 et que le
satellite est lié, son énergie mécanique est forcément négative, ce que l’on observe ici.
d. Numériquement : E m = −0, 5
6,67.10
−11
× 6.10
3
× 5,97.10
24
7,38.10 6
= −1,6.10 11 J.
3. Energie nécessaire au lancement d’un satellite
a. Dans le référentiel géocentrique, la Terre est en rotation autour d’un axe fixe (l’axe de
ses pôles) à la vitesse angulaire Ω =
2π
T
= 7,3.10 −5 rad·s −1 en prenant T = 1 jour.
b. Le point O est en mouvement circulaire de centre H, projeté de O sur l’axe de rotation,
de rayon R = HO = R T cos(λ ), à la vitesse angulaire Ω. Sa vitesse est donc V O = RΩ =
R T cos(λ )Ω.
c. L’énergie E m0 vaut donc :
E m0 =
1
2
mR
2
T cos
2
(λ ) Ω
2
−
G mM T
R T
.
d. Plus V O sera grand, plus l’énergie cinétique au sol du satellite sera grande. Il faut donc
maximiser cos λ donc se situer le plus près possible de l’équateur. Le champ de tir de Kourou
est donc le site à privilégier.
e. L’énergie à fournir sera la différence ΔE m = E m − E m0 . On calcule numériquement
E m0 = −3,7.10
11 J puis ΔE m = 2,1.10
11 J.
f. Entre Baïkonour et Kourou, on gagne E m0 =
1
2 mR 2
T Ω 2 (cos 2 (λ Kourou )− cos 2 (λ Baïkonour )).
Numériquement on trouve une économie de 3,3.10 8 J. Le gain d’énergie relatif de l’ordre de
0,15% est relativement faible, mais comme chaque tir nécessite plusieurs centaines de tonnes
de carburant, cela n’est pas tout à fait négligeable.
20.4 Trajectoire quasi-circulaire d’un satellite - Freinage par l’atmosphère
On étudie le satellite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Dans ce référentiel,
le satellite n’est soumis qu’à la force de gravitation
− →
F G qui est une force centrale de centre O
confondu avec le centre de la Terre.
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20.3 Energie nécessaire pour mettre un satellite artificiel en orbite
1. Le référentiel d’étude de ce type de mouvements est le référentiel géocentrique.
2. Energie d’un satellite artificiel en orbite
a. E p = −
G mM T
r
= −
G mM T
R T + z
où R T et M T sont le rayon et la masse de la Terre.
b. Le mouvement circulaire du satellite est étudié en coordonnées polaires dont l’origine
est confondue avec le centre de la Terre. Le satellite étudié n’est soumis qu’à l’attraction
gravitationnelle de la Terre. On applique le principe fondamental de la dynamique au satellite
dans le référentiel géocentrique galiléen en projection sur − → u r :
−m
v 2
r
= −
G mM T
r 2
⇒ v =
G M T
r
=
G M T
R T + z
.
c. On trouve E c =
1
2
mv 2 =
1
2
G mM T
R T + z
puis E m = E c + E p = −
1
2
G mM T
R T + z
. Etant donné que
l’énergie potentielle du satellite est en forme de puits dont le maximum est égal à 0 et que le
satellite est lié, son énergie mécanique est forcément négative, ce que l’on observe ici.
d. Numériquement : E m = −0, 5
6,67.10
−11
× 6.10
3
× 5,97.10
24
7,38.10 6
= −1,6.10 11 J.
3. Energie nécessaire au lancement d’un satellite
a. Dans le référentiel géocentrique, la Terre est en rotation autour d’un axe fixe (l’axe de
ses pôles) à la vitesse angulaire Ω =
2π
T
= 7,3.10 −5 rad·s −1 en prenant T = 1 jour.
b. Le point O est en mouvement circulaire de centre H, projeté de O sur l’axe de rotation,
de rayon R = HO = R T cos(λ ), à la vitesse angulaire Ω. Sa vitesse est donc V O = RΩ =
R T cos(λ )Ω.
c. L’énergie E m0 vaut donc :
E m0 =
1
2
mR
2
T cos
2
(λ ) Ω
2
−
G mM T
R T
.
d. Plus V O sera grand, plus l’énergie cinétique au sol du satellite sera grande. Il faut donc
maximiser cos λ donc se situer le plus près possible de l’équateur. Le champ de tir de Kourou
est donc le site à privilégier.
e. L’énergie à fournir sera la différence ΔE m = E m − E m0 . On calcule numériquement
E m0 = −3,7.10
11 J puis ΔE m = 2,1.10
11 J.
f. Entre Baïkonour et Kourou, on gagne E m0 =
1
2 mR 2
T Ω 2 (cos 2 (λ Kourou )− cos 2 (λ Baïkonour )).
Numériquement on trouve une économie de 3,3.10 8 J. Le gain d’énergie relatif de l’ordre de
0,15% est relativement faible, mais comme chaque tir nécessite plusieurs centaines de tonnes
de carburant, cela n’est pas tout à fait négligeable.
20.4 Trajectoire quasi-circulaire d’un satellite - Freinage par l’atmosphère
On étudie le satellite dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Dans ce référentiel,
le satellite n’est soumis qu’à la force de gravitation
− →
F G qui est une force centrale de centre O
confondu avec le centre de la Terre.
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