Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
CORRIGÉS
20.1 Paramètre gravitationnel standard de la Terre
1. La troisième loi de Kepler pour un satellite terrestre en orbite circulaire de rayon r s’écrit
T 2
r 3 =
4π 2
G M T
⇒ μ = G M T =
4π 2 r 3
T 2 =
4π 2 (R T + z)
3
T 2
,
où R T désigne le rayon de la Terre.
2. La connaissance de G donne accès à M T =
μ
G
.
3. Numériquement : μ =
4 × 3, 14 2 × (42.10 6 ) 3
86400 2
= 39.10
13 m
3
·s
−2 . On en déduit la masse de
la Terre M T = 5,9.10 24 kg puis sa masse volumique moyenne ρ =
M T
4
3 πR 3
T
= 5,3.10
3 kg·m
−3 .
A l’époque de Cavendish, ce résultat a surpris car la masse volumique des roches les plus
denses est l’ordre de 3.10 3 à 4.10 3 kg·m −3 . On sait maintenant que cette valeur est due au
noyau terrestre constitué de fer beaucoup plus dense.
4. On peut également trouver μ en exploitant g = 9,8 m·s −2 =
G M T
R 2
T
soit :
μ = G M T = gR
2
T = 9, 8 × (6,4.10
6
)
2
= 40.10
13 m
3
·s
−2
.
20.2 Vitesse d’un satellite à son périgée
1. Voir ci-contre.
2. a =
d P + d A
2
= 18,1.10 3 km (voir ci-contre).
3. E m = −
G mM T
2a
= −
G mM T
d P + d A
= −1,2.10 10 J.
On déduit la période de la troisième loi de Kepler
en utilisant un satellite géostationnaire qui effectue
une révolution en T geo = 1 jour à l’altitude z geo =
36.10 3 km donc pour lequel a geo = 42,4.10 3 km
pour déterminer la valeur de la constante :
A
B
O
2a
− →
V A
− →
V B
T
2
/a
3
= T
2
geo /a
3
geo
⇒ T = T geo
a
a geo
3
2 = 0,278 jour = 6,7 h.
4. Au points A et P et seulement en ces points, on a − → v A ⊥
− →
OA (respectivement − → v P ⊥
− →
OP) et
L T (A) = md A v A (resp. L T (P) = md P v P ).
5. Le mouvement est à force centrale de centre O, le moment cinétique en O est une constante
du mouvement d’où d A v A = d P v P puis v P = v A
d A
d P
= 3,5.10
2
×
35, 9
0, 2
= 6,3.10
4 m·s
−1 .
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CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
CORRIGÉS
20.1 Paramètre gravitationnel standard de la Terre
1. La troisième loi de Kepler pour un satellite terrestre en orbite circulaire de rayon r s’écrit
T 2
r 3 =
4π 2
G M T
⇒ μ = G M T =
4π 2 r 3
T 2 =
4π 2 (R T + z)
3
T 2
,
où R T désigne le rayon de la Terre.
2. La connaissance de G donne accès à M T =
μ
G
.
3. Numériquement : μ =
4 × 3, 14 2 × (42.10 6 ) 3
86400 2
= 39.10
13 m
3
·s
−2 . On en déduit la masse de
la Terre M T = 5,9.10 24 kg puis sa masse volumique moyenne ρ =
M T
4
3 πR 3
T
= 5,3.10
3 kg·m
−3 .
A l’époque de Cavendish, ce résultat a surpris car la masse volumique des roches les plus
denses est l’ordre de 3.10 3 à 4.10 3 kg·m −3 . On sait maintenant que cette valeur est due au
noyau terrestre constitué de fer beaucoup plus dense.
4. On peut également trouver μ en exploitant g = 9,8 m·s −2 =
G M T
R 2
T
soit :
μ = G M T = gR
2
T = 9, 8 × (6,4.10
6
)
2
= 40.10
13 m
3
·s
−2
.
20.2 Vitesse d’un satellite à son périgée
1. Voir ci-contre.
2. a =
d P + d A
2
= 18,1.10 3 km (voir ci-contre).
3. E m = −
G mM T
2a
= −
G mM T
d P + d A
= −1,2.10 10 J.
On déduit la période de la troisième loi de Kepler
en utilisant un satellite géostationnaire qui effectue
une révolution en T geo = 1 jour à l’altitude z geo =
36.10 3 km donc pour lequel a geo = 42,4.10 3 km
pour déterminer la valeur de la constante :
A
B
O
2a
− →
V A
− →
V B
T
2
/a
3
= T
2
geo /a
3
geo
⇒ T = T geo
a
a geo
3
2 = 0,278 jour = 6,7 h.
4. Au points A et P et seulement en ces points, on a − → v A ⊥
− →
OA (respectivement − → v P ⊥
− →
OP) et
L T (A) = md A v A (resp. L T (P) = md P v P ).
5. Le mouvement est à force centrale de centre O, le moment cinétique en O est une constante
du mouvement d’où d A v A = d P v P puis v P = v A
d A
d P
= 3,5.10
2
×
35, 9
0, 2
= 6,3.10
4 m·s
−1 .
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