Exercices
S’ENTRAÎNER
9. En déduire l’expression de l’énergie mécanique Em et les relations de Em avec E p et E c .
Les satellites en orbite basses subissent des frottements de la part des hautes couches de
l’atmosphère. Ces frottements limitent la durée de vie des satellites en les faisant lentement
chuter sur Terre. Un satellite situé sur une orbite à 1,0.10 3 km kilomètres d’altitude descend
d’environ 2 m par jour. On cherche à modéliser ces observations.
On modélise l’action des hautes couches de l’atmosphère par une force de frottement proportionnelle à la masse du satellite et sa vitesse au carré :
− →
f = −αmv − → v où α est un coefficient
de frottement. Cette force est suffisamment faible pour que la trajectoire soit quasi-circulaire.
Dans ces conditions, les expressions des différentes énergies en fonction de r restent valables
mais r varie lentement dans le temps.
10. A l’aide du théorème de l’énergie cinétique, établir l’équation différentielle vérifiée par r.
11. Sans résoudre, montrer que r ne peut que diminuer.
12. En déduire un résultat surprenant sur l’évolution de la vitesse du satellite.
20.5 Modèle de bohr de l’atome d’hydrogène ()
Pour expliquer le spectre de raies de l’atome d’hydrogène observées expérimentalement, N.
Bohr a proposé un modèle qui s’appuie sur les hypothèses suivantes : dans un référentiel
galiléen lié au noyau O,
i) l’électron décrit une trajectoire circulaire sur laquelle il ne rayonne pas d’énergie ;
ii) l’électron échange de l’énergie avec l’extérieur sous forme de lumière lorsqu’il change de
trajectoire circulaire ;
iii) le module du moment cinétique de l’électron est quantifié et ne peut prendre que des
valeurs discrètes vérifiant la relation :
L O n = n
h
2π
où n un nombre entier naturel non nul et h la constante de Planck.
Une orbitale électronique correspond à une valeur de l’entier n. Elle est caractérisée par un
rayon r n , une vitesse v n et une énergie mécanique E m (n).
Ce modèle semi-classique n’est pas complètement satisfaisant, mais il prédit le spectre de
raies de l’atome d’hydrogène. A ce titre, il a eu son heure de gloire et a permis de banaliser
l’idée que la quantification des grandeurs physiques est nécessaire à l’échelle atomique.
On rappelle qu’un atome d’hydrogène est constitué d’un noyau (charge e, masse m p ) et d’un
électron (charge e, masse m e ), et on donne les valeurs numériques utiles pour cet exercice :
masse de l’électron : m e = 0,911.10
−30 kg ; charge du proton e = 1,602.10
19 C ; constante
de Planck : h = 6,63.10 −34 J·s ; célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00.10 8 m·s −1 ;
permittivité diélectrique du vide ε 0 = 8,85.10 −12 F·m −1 .
1. Rappeler l’expression de la force d’interaction exercée par le noyau sur l’électron et de
l’énergie potentielle dont elle dérive.
2. Utiliser le fait que les orbitales sont circulaires pour exprimer le carré v 2
n de la vitesse de
l’électron en fonction de la distance r n .
3. Utiliser la quantification du moment cinétique pour exprimer le rayon de la trajectoire en
fonction de n, h, m e , e.
4. Calculer sa valeur pour n = 1.
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S’ENTRAÎNER
9. En déduire l’expression de l’énergie mécanique Em et les relations de Em avec E p et E c .
Les satellites en orbite basses subissent des frottements de la part des hautes couches de
l’atmosphère. Ces frottements limitent la durée de vie des satellites en les faisant lentement
chuter sur Terre. Un satellite situé sur une orbite à 1,0.10 3 km kilomètres d’altitude descend
d’environ 2 m par jour. On cherche à modéliser ces observations.
On modélise l’action des hautes couches de l’atmosphère par une force de frottement proportionnelle à la masse du satellite et sa vitesse au carré :
− →
f = −αmv − → v où α est un coefficient
de frottement. Cette force est suffisamment faible pour que la trajectoire soit quasi-circulaire.
Dans ces conditions, les expressions des différentes énergies en fonction de r restent valables
mais r varie lentement dans le temps.
10. A l’aide du théorème de l’énergie cinétique, établir l’équation différentielle vérifiée par r.
11. Sans résoudre, montrer que r ne peut que diminuer.
12. En déduire un résultat surprenant sur l’évolution de la vitesse du satellite.
20.5 Modèle de bohr de l’atome d’hydrogène ()
Pour expliquer le spectre de raies de l’atome d’hydrogène observées expérimentalement, N.
Bohr a proposé un modèle qui s’appuie sur les hypothèses suivantes : dans un référentiel
galiléen lié au noyau O,
i) l’électron décrit une trajectoire circulaire sur laquelle il ne rayonne pas d’énergie ;
ii) l’électron échange de l’énergie avec l’extérieur sous forme de lumière lorsqu’il change de
trajectoire circulaire ;
iii) le module du moment cinétique de l’électron est quantifié et ne peut prendre que des
valeurs discrètes vérifiant la relation :
L O n = n
h
2π
où n un nombre entier naturel non nul et h la constante de Planck.
Une orbitale électronique correspond à une valeur de l’entier n. Elle est caractérisée par un
rayon r n , une vitesse v n et une énergie mécanique E m (n).
Ce modèle semi-classique n’est pas complètement satisfaisant, mais il prédit le spectre de
raies de l’atome d’hydrogène. A ce titre, il a eu son heure de gloire et a permis de banaliser
l’idée que la quantification des grandeurs physiques est nécessaire à l’échelle atomique.
On rappelle qu’un atome d’hydrogène est constitué d’un noyau (charge e, masse m p ) et d’un
électron (charge e, masse m e ), et on donne les valeurs numériques utiles pour cet exercice :
masse de l’électron : m e = 0,911.10
−30 kg ; charge du proton e = 1,602.10
19 C ; constante
de Planck : h = 6,63.10 −34 J·s ; célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00.10 8 m·s −1 ;
permittivité diélectrique du vide ε 0 = 8,85.10 −12 F·m −1 .
1. Rappeler l’expression de la force d’interaction exercée par le noyau sur l’électron et de
l’énergie potentielle dont elle dérive.
2. Utiliser le fait que les orbitales sont circulaires pour exprimer le carré v 2
n de la vitesse de
l’électron en fonction de la distance r n .
3. Utiliser la quantification du moment cinétique pour exprimer le rayon de la trajectoire en
fonction de n, h, m e , e.
4. Calculer sa valeur pour n = 1.
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