Exercices
CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
2. Energie d’un satellite artificiel en orbite
a. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle du satellite en orbite à
une distance r du centre de la Terre. En déduire son expression en fonction de son altitude z.
b. Retrouver l’expression de la vitesse en orbite à une altitude z.
c. En déduire l’expression de l’énergie cinétique puis de l’énergie mécanique E m du satellite sur son orbite à l’altitude z.
d. Calculer cette énergie mécanique pour z = 1,0.10
3 km et m = 6,0 tonnes.
3. Energie nécessaire au lancement d’un satellite
Pour lancer un satellite, il faut lui communiquer l’énergie ΔEm = E m − E m0 où E m0 est l’énergie qu’il a au point O.
a. Dans le référentiel géocentrique, la Terre peut être assimilée à un solide en rotation
autour d’un axe à une vitesse angulaire Ω. Préciser l’axe de rotation. Est-il fixe ? Que vaut la
vitesse angulaire ?
b. En déduire l’expression de la vitesse du point O dans le référentiel géocentrique R g
supposé galiléen en fonction de Ω, du rayon terrestre R T et de la latitude du lieu λ .
c. Exprimer alors l’énergie mécanique initiale E m0 du satellite posé au sol au point O.
d. En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement du satellite. Parmi les
trois champs de tirs suivants, lequel choisir de préférence ?
– Baïkonour au Kazakhstan : λ = 46
◦ ;
– Cap Canaveral aux USA : λ = 28, 5 ◦ ;
– Kourou en Guyane française : λ = 5, 23 ◦ .
e. Calculer l’énergie nécessaire pour mettre le satellite en orbite basse depuis Kourou.
f. Calculer numériquement l’énergie gagnée entre Baïkonour et Kourou. Commenter.
20.4 Trajectoire quasi-circulaire d’un satellite - Freinage par l’atmosphère ()
On étudie le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre dans le référentiel géocentrique
supposé galiléen. On néglige les autres interactions que la force de gravitation entre la Terre
et le satellite. On note M T la masse de la Terre, R T son rayon, m la masse du satellite supposée petite devant M T et G la constante de gravitation universelle. On note T 0 la période de
révolution du satellite.
1. Etablir la conservation du moment cinétique du satellite par rapport à la Terre.
2. En déduire que le mouvement du satellite est plan.
3. Montrer que cela permet de définir une constante des aires C dont on donnera l’expression.
4. On suppose que le satellite est en orbite circulaire autour de la Terre. Montrer que son
mouvement est uniforme.
5. Etablir l’expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, M T et r le rayon de l’orbite
du satellite.
6. Retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas d’une trajectoire circulaire. Faire l’application numérique pour un satellite situé sur une orbite basse à 1,0.10 3 km d’altitude.
7. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique E c du satellite en fonction de G , M T , m et r.
8. Même question pour l’énergie potentielle E p du satellite. Donner la relation entre E c et E p .
740
CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
2. Energie d’un satellite artificiel en orbite
a. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle du satellite en orbite à
une distance r du centre de la Terre. En déduire son expression en fonction de son altitude z.
b. Retrouver l’expression de la vitesse en orbite à une altitude z.
c. En déduire l’expression de l’énergie cinétique puis de l’énergie mécanique E m du satellite sur son orbite à l’altitude z.
d. Calculer cette énergie mécanique pour z = 1,0.10
3 km et m = 6,0 tonnes.
3. Energie nécessaire au lancement d’un satellite
Pour lancer un satellite, il faut lui communiquer l’énergie ΔEm = E m − E m0 où E m0 est l’énergie qu’il a au point O.
a. Dans le référentiel géocentrique, la Terre peut être assimilée à un solide en rotation
autour d’un axe à une vitesse angulaire Ω. Préciser l’axe de rotation. Est-il fixe ? Que vaut la
vitesse angulaire ?
b. En déduire l’expression de la vitesse du point O dans le référentiel géocentrique R g
supposé galiléen en fonction de Ω, du rayon terrestre R T et de la latitude du lieu λ .
c. Exprimer alors l’énergie mécanique initiale E m0 du satellite posé au sol au point O.
d. En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement du satellite. Parmi les
trois champs de tirs suivants, lequel choisir de préférence ?
– Baïkonour au Kazakhstan : λ = 46
◦ ;
– Cap Canaveral aux USA : λ = 28, 5 ◦ ;
– Kourou en Guyane française : λ = 5, 23 ◦ .
e. Calculer l’énergie nécessaire pour mettre le satellite en orbite basse depuis Kourou.
f. Calculer numériquement l’énergie gagnée entre Baïkonour et Kourou. Commenter.
20.4 Trajectoire quasi-circulaire d’un satellite - Freinage par l’atmosphère ()
On étudie le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre dans le référentiel géocentrique
supposé galiléen. On néglige les autres interactions que la force de gravitation entre la Terre
et le satellite. On note M T la masse de la Terre, R T son rayon, m la masse du satellite supposée petite devant M T et G la constante de gravitation universelle. On note T 0 la période de
révolution du satellite.
1. Etablir la conservation du moment cinétique du satellite par rapport à la Terre.
2. En déduire que le mouvement du satellite est plan.
3. Montrer que cela permet de définir une constante des aires C dont on donnera l’expression.
4. On suppose que le satellite est en orbite circulaire autour de la Terre. Montrer que son
mouvement est uniforme.
5. Etablir l’expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, M T et r le rayon de l’orbite
du satellite.
6. Retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas d’une trajectoire circulaire. Faire l’application numérique pour un satellite situé sur une orbite basse à 1,0.10 3 km d’altitude.
7. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique E c du satellite en fonction de G , M T , m et r.
8. Même question pour l’énergie potentielle E p du satellite. Donner la relation entre E c et E p .
740