Exercices
S’ENTRAÎNER
S’ENTRAÎNER
Les données numériques suivantes sont utilisées dans de nombreux exercices :
– Masse de la Terre : M T = 5,97.10
2 4 kg.
– Rayon de la Terre : R T = 6,38.10 6 m.
– Masse du Soleil : M S = 1,99.10 30 kg.
– Constante universelle de gravitation : G = 6,67.10 −11 N·m 2 ·kg −2 .
– Valeur du champ de pesanteur au niveau du sol : g = 9,81 m·s −2 .
– Unité astronomique (distance moyenne Terre-Soleil) : 1 ua = 1,5.10
11 m.
20.1 Paramètre gravitationnel standard de la Terre ()
1. Montrer que la connaissance de la période d’un satellite terrestre en orbite circulaire à
l’altitude z et de la troisième loi de Kepler permet de déterminer μ = G M T , le produit de la
constante de gravitation universelle par la masse de la Terre.
2. L’expérience de Cavendish permet de déterminer la valeur de G = 6,67.10 −11 N·m 2 ·kg −2 .
Montrer qu’on peut alors déterminer la masse de la Terre.
3. On rappelle qu’un satellite géostationnaire est en orbite à une altitude approximative de
36.10
3 km et que le rayon de la Terre vaut R T = 6,4.10
3 km. Calculer le paramètre gravitationnel standard de la Terre, sa masse puis sa masse volumique moyenne.
4. Donner une autre méthode pour déterminer μ en utilisant la valeur de champ de gravité
terrestre à la surface du globe g.
20.2 Vitesse d’un satellite à son périgée (MPSI) ()
Lors de son lancement, le satellite d’observation Hipparcos est resté sur son orbite de transfert
à cause d’un problème technique. On l’assimile à un point matériel M de masse m = 1,1 t.
L’orbite de transfert est elliptique et la distance Terre-satellite varie entre d P = 200 km au
périgée et d A = 35,9.10 3 km à l’apogée. On rappelle que le périgée est le point de l’orbite le
plus proche de la Terre et que l’apogée est le point le plus éloigné. On mesure la vitesse du
satellite à son apogée : v A = 3,5.10 2 m·s −1 .
1. Faire un schéma de la trajectoire en faisant apparaître la position O du centre de la Terre,
l’apogée A et le périgée P.
2. Déterminer le demi-grand axe a de la trajectoire.
3. En déduire l’énergie mécanique et la période du satellite.
4. On note v A et v P les vitesses du satellite en A et en P. Exprimer le module moment cinétique
calculé au point O du satellite à son apogée puis à son périgée.
5. En déduire la vitesse du satellite à son périgée.
20.3 Energie nécessaire pour mettre un satellite artificiel en orbite ()
On étudie le mouvement d’un satellite de masse m en orbite circulaire à une altitude z autour
de la Terre, ainsi que le lancement d’un satellite artificiel à partir d’un point O de la surface
terrestre.
1. Dans quel référentiel se place-t-on pour étudier le mouvement d’un satellite terrestre ?
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Les données numériques suivantes sont utilisées dans de nombreux exercices :
– Masse de la Terre : M T = 5,97.10
2 4 kg.
– Rayon de la Terre : R T = 6,38.10 6 m.
– Masse du Soleil : M S = 1,99.10 30 kg.
– Constante universelle de gravitation : G = 6,67.10 −11 N·m 2 ·kg −2 .
– Valeur du champ de pesanteur au niveau du sol : g = 9,81 m·s −2 .
– Unité astronomique (distance moyenne Terre-Soleil) : 1 ua = 1,5.10
11 m.
20.1 Paramètre gravitationnel standard de la Terre ()
1. Montrer que la connaissance de la période d’un satellite terrestre en orbite circulaire à
l’altitude z et de la troisième loi de Kepler permet de déterminer μ = G M T , le produit de la
constante de gravitation universelle par la masse de la Terre.
2. L’expérience de Cavendish permet de déterminer la valeur de G = 6,67.10 −11 N·m 2 ·kg −2 .
Montrer qu’on peut alors déterminer la masse de la Terre.
3. On rappelle qu’un satellite géostationnaire est en orbite à une altitude approximative de
36.10
3 km et que le rayon de la Terre vaut R T = 6,4.10
3 km. Calculer le paramètre gravitationnel standard de la Terre, sa masse puis sa masse volumique moyenne.
4. Donner une autre méthode pour déterminer μ en utilisant la valeur de champ de gravité
terrestre à la surface du globe g.
20.2 Vitesse d’un satellite à son périgée (MPSI) ()
Lors de son lancement, le satellite d’observation Hipparcos est resté sur son orbite de transfert
à cause d’un problème technique. On l’assimile à un point matériel M de masse m = 1,1 t.
L’orbite de transfert est elliptique et la distance Terre-satellite varie entre d P = 200 km au
périgée et d A = 35,9.10 3 km à l’apogée. On rappelle que le périgée est le point de l’orbite le
plus proche de la Terre et que l’apogée est le point le plus éloigné. On mesure la vitesse du
satellite à son apogée : v A = 3,5.10 2 m·s −1 .
1. Faire un schéma de la trajectoire en faisant apparaître la position O du centre de la Terre,
l’apogée A et le périgée P.
2. Déterminer le demi-grand axe a de la trajectoire.
3. En déduire l’énergie mécanique et la période du satellite.
4. On note v A et v P les vitesses du satellite en A et en P. Exprimer le module moment cinétique
calculé au point O du satellite à son apogée puis à son périgée.
5. En déduire la vitesse du satellite à son périgée.
20.3 Energie nécessaire pour mettre un satellite artificiel en orbite ()
On étudie le mouvement d’un satellite de masse m en orbite circulaire à une altitude z autour
de la Terre, ainsi que le lancement d’un satellite artificiel à partir d’un point O de la surface
terrestre.
1. Dans quel référentiel se place-t-on pour étudier le mouvement d’un satellite terrestre ?
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