CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
Lorsque α = 0, le discriminant Δ = 4 + 4α est positif car α > −1 et la plus petite solution
positive est r
∗
=
−1 +
√
1 + α
α
. Les conditions initiales sont donc :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dr ∗
dt ∗ = 0
r ∗
=
−1 +
√
1 + α
α
θ
= 0
si α = 0
et
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
dr ∗
dt ∗ = 0
r ∗
= 0, 5
θ
= 0
si α = 0.
x*
y*
-3
-2
-1
1
2
3
-3
-2
-1
1
O
Figure 20.9 – Nature de la trajectoire en fonction de α. La trajectoire est circulaire
pour α = −1 (trait continu noir), elliptique pour α = −0, 5 (trait continu gris),
parabolique pour α = 0 (pointillés) et hyperbolique pour α = 1 (tirets).
Tracé et analyse des solutions obtenues en fonction de l’énergie mécanique On trace
alors les trajectoires pour α égal à -1, -0,5 et 1 qui correspondent aux énergies mécaniques
tracées sur la figure 20.4 et pour une énergie mécanique nulle, c’est-à-dire α = 0.
Les courbes obtenues sont des coniques de foyer O dont la nature dépend de la valeur de α :
• si α = −1 ⇔ E m = E min , la trajectoire est un cercle de centre O,
• si α ∈] − 1, 0[ ⇔ 0 > E m > E min , la trajectoire est une ellipse de foyer O,
• si α = 0 ⇔ E m = 0, la trajectoire est une parabole de foyer O,
• si α > 0 ⇔ E m > 0, la trajectoire est une branche d’hyperbole de foyer O.
La valeur de α détermine entièrement la nature de la trajectoire. Les paramètres dimensionnés
G , M A , m, C et E m n’interviennent pas indépendamment mais uniquement sous la forme de
la combinaison α =
E m
E 0
=
2C 2 E m
G 2 M 2
A m
.
Il faut avoir conscience que la forme de la trajectoire dépend de la nature de la force et que
les résultats obtenus ici ne sont valables que pour les forces newtoniennes en
1
r 2 .
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