ÉTUDE DIRECTE DE LA TRAJECTOIRE CIRCULAIRE
b) Expression de l’énergie mécanique pour les trajectoires elliptiques
Dans ce paragraphe, on démontre l’expression de l’énergie mécanique sur une trajectoire
elliptique que l’on a admis au paragraphe 4.2. Pour cela, on utilise la courbe d’énergie potentielle effective vue au paragraphe 3 et reproduite figure 20.10. Les trajectoires liées s’effectuent entre les distances r 1 et r 2 . La trajectoire étant une ellipse, on remarque sur le schéma
de la figure 20.11 que les paramètres r 1 et r 2 sont liés à la longueur du grand axe de l’ellipse :
2a = r 1 + r 2 .
E min
E m
r 0
r 1
r 2
O
r
E p eff (r)
Figure 20.10 – Courbe
d’énergie potentielle effective.
r 1
r 2
2a
x
y
•
O
− → u x
− → u y
Figure 20.11 – Ellipse montrant
r 1 , r 2 et le grand-axe 2a.
Or r 1 et r 2 sont solutions de l’équation :
E m = E p eff (r) =
1
2
m
C 2
r 2 − G
mM A
r
=⇒ r
2
+
G mM A
E m
r −
1
2
m
C 2
E m
= 0.
Cette équation s’écrit également : (r − r 1 )(r − r 2 ) = r
2
− (r 1 + r 2 )r + r 1 r 2 = r
2
− Sr + P = 0,
où S = r 1 + r 2 représente la somme des racines du polynôme de deuxième ordre et P = r 1 r 2
son produit. On en déduit que :
r 1 + r 2 = 2a = −
G mM A
E m
, soit E m = −
G M A m
2a
.
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