ÉTUDE DIRECTE DE LA TRAJECTOIRE CIRCULAIRE
4.5 Complément : autres trajectoires envisageables (MPSI)
a) Détermination de la nature de la trajectoire par une méthode numérique
Dans ce paragraphe, on résout numériquement les équations du mouvement pour déterminer
les différentes trajectoires possibles.
Équations sans dimension Pour résoudre numériquement le système d’équations du mouvement (20.2), on le rend adimensionnel en utilisant la longueur caractéristique r 0 =
C 2
G M A
et l’énergie caractéristique E 0 =
G M A m
2r 0
définies au paragraphe 3.2. À partir de r 0 et de
la constante des aires, on détermine une vitesse caractéristique V =
C
r 0
et un temps caractéristique τ =
r 0
V
=
r 2
0
C
. On pose alors t ∗ = t/τ, r ∗ = r/r 0 et les équations du mouvement
deviennent :
C =
r 2
0
τ
r
∗2 dθ
dt ∗
et
E m =
1
2
m
r 2
0
τ 2
dr ∗
dt ∗
2
+ E 0 E
∗
p e f f
(r
∗
).
L’énergie potentielle effective adimensionnée E
∗
p eff
(r
∗
) =
1
r ∗2 −
2
r ∗ a été explicitée au paragraphe 3.2 et tracée sur la figure 20.4.
Comme r 0 =
C 2
G M A
⇔
C 2
r 0
= G M A , on calcule
1
2
m
r 2
0
τ 2 =
1
2
mV
2
=
1
2
m
C 2
r 2
0
=
1
2
m
G M A
r 0
= E 0 .
On pose alors α =
E m
E 0
et on obtient les équations adimensionnées suivantes :
dθ
dt ∗ =
1
r ∗2
et
dr ∗
dt ∗
2
= α −
1
r ∗2 +
1
r ∗ .
Pour des raisons de techniques numériques, il est plus facile de dériver la deuxième équation
et d’effectuer la résolution numérique du système :
dθ
dt ∗ =
1
r ∗2
et
d
2 r
∗
dt ∗2 =
1
r ∗3 −
1
r ∗2 .
Conditions initiales et domaine de variation des paramètres La courbe d’énergie potentielle effective de la figure 20.4 permet de limiter l’intervalle accessible à l’énergie mécanique
E m à [−E 0 , +∞[. α évolue donc dans l’intervalle [−1, +∞[. Le point où M s’approche le plus
de O permet d’établir les conditions initiales du mouvement puisqu’en ce point
dr
∗
dt ∗ = 0
et r ∗ vérifie α −
1
r ∗2 +
1
r ∗ = 0 ⇒ αr
∗2
+ 2r
∗
− 1 = 0 . On cherche la plus petite solution
strictement positive de cette équation qui correspond la distance minimale séparant M de O.
Lorsque α = 0, la solution est évidemment r ∗ = 0, 5.
735
4.5 Complément : autres trajectoires envisageables (MPSI)
a) Détermination de la nature de la trajectoire par une méthode numérique
Dans ce paragraphe, on résout numériquement les équations du mouvement pour déterminer
les différentes trajectoires possibles.
Équations sans dimension Pour résoudre numériquement le système d’équations du mouvement (20.2), on le rend adimensionnel en utilisant la longueur caractéristique r 0 =
C 2
G M A
et l’énergie caractéristique E 0 =
G M A m
2r 0
définies au paragraphe 3.2. À partir de r 0 et de
la constante des aires, on détermine une vitesse caractéristique V =
C
r 0
et un temps caractéristique τ =
r 0
V
=
r 2
0
C
. On pose alors t ∗ = t/τ, r ∗ = r/r 0 et les équations du mouvement
deviennent :
C =
r 2
0
τ
r
∗2 dθ
dt ∗
et
E m =
1
2
m
r 2
0
τ 2
dr ∗
dt ∗
2
+ E 0 E
∗
p e f f
(r
∗
).
L’énergie potentielle effective adimensionnée E
∗
p eff
(r
∗
) =
1
r ∗2 −
2
r ∗ a été explicitée au paragraphe 3.2 et tracée sur la figure 20.4.
Comme r 0 =
C 2
G M A
⇔
C 2
r 0
= G M A , on calcule
1
2
m
r 2
0
τ 2 =
1
2
mV
2
=
1
2
m
C 2
r 2
0
=
1
2
m
G M A
r 0
= E 0 .
On pose alors α =
E m
E 0
et on obtient les équations adimensionnées suivantes :
dθ
dt ∗ =
1
r ∗2
et
dr ∗
dt ∗
2
= α −
1
r ∗2 +
1
r ∗ .
Pour des raisons de techniques numériques, il est plus facile de dériver la deuxième équation
et d’effectuer la résolution numérique du système :
dθ
dt ∗ =
1
r ∗2
et
d
2 r
∗
dt ∗2 =
1
r ∗3 −
1
r ∗2 .
Conditions initiales et domaine de variation des paramètres La courbe d’énergie potentielle effective de la figure 20.4 permet de limiter l’intervalle accessible à l’énergie mécanique
E m à [−E 0 , +∞[. α évolue donc dans l’intervalle [−1, +∞[. Le point où M s’approche le plus
de O permet d’établir les conditions initiales du mouvement puisqu’en ce point
dr
∗
dt ∗ = 0
et r ∗ vérifie α −
1
r ∗2 +
1
r ∗ = 0 ⇒ αr
∗2
+ 2r
∗
− 1 = 0 . On cherche la plus petite solution
strictement positive de cette équation qui correspond la distance minimale séparant M de O.
Lorsque α = 0, la solution est évidemment r ∗ = 0, 5.
735