ÉTUDE DIRECTE DE LA TRAJECTOIRE CIRCULAIRE
• l’énergie potentielle vaut : E p = −G
mM A
r 0
;
• l’énergie cinétique est égale à : E p =
1
2
mv
2
0 =
1
2
G
mM A
r 0
;
• l’énergie mécanique s’écrit donc :
E m = E c + E p = −
1
2
G
mM A
r 0
.
(20.3)
Dans le cas d’une trajectoire circulaire, toutes ces énergies sont constantes et s’expriment en
fonction de r 0 à l’aide de l’énergie caractéristique E 0 = G
mM A
r 0
.
Généralisation aux trajectoires elliptiques (MPSI) Dans le cas d’une trajectoire elliptique,
les énergies cinétique et potentielle varient au cours du temps et seule l’énergie mécanique est
conservée. On admet que l’expression de l’énergie mécanique que l’on vient d’établir reste
valable, à condition de remplacer le rayon r 0 de la trajectoire circulaire par le demi grand-axe
a de l’orbite elliptique.
L’énergie mécanique d’une planète de masse m en gravitation autour d’un astre de
masse M A vaut :
E m = −
G M A m
2a
où a représente le demi grand-axe de la trajectoire elliptique.
Si l’on connaît l’énergie mécanique d’un satellite, cette relation permettra de déterminer le
demi-grand axe de sa trajectoire.
c) Troisième loi de Kepler : loi des périodes
La période de révolution de M autour de O est le temps nécessaire à M pour parcourir la
trajectoire de circonférence 2πr 0 à la vitesse constante v 0 :
T =
2πr 0
v 0
=
2πr 0
G M A
r 0
=⇒
T 2
r 3
0
=
4π 2
G M A
.
Généralisation aux trajectoires elliptiques (MPSI) On admet que la relation établie ici
reste valable pour les trajectoires elliptiques, à condition de remplacer le rayon r 0 de la trajectoire circulaire par le demi grand-axe a de l’orbite elliptique.
Pour un corps en orbite elliptique autour d’un astre attracteur de masse M A , le rapport
du carré du demi grand-axe a au cube de la période de révolution T ne dépend que du
produit G M A et vaut :
T 2
a 3 =
4π 2
G M A
,
indépendamment du corps qui gravite autour de l’astre attracteur.
729