CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
implique d’admettre sa planéité puisqu’un cercle est une courbe plane. On étudie alors le
mouvement en coordonnées polaires d’origine O dans le plan de la trajectoire circulaire.
À t = 0, le point M est situé en M 0 et possède une vitesse − → v 0 . On choisit la référence des angles et l’orientation du plan comme sur la figure ci-contre de sorte
que :
−− →
OM 0 = r 0
− → u x et − → v 0 = v 0
− → u y ,
avec v 0 > 0. Le point M est repéré à l’instant t à l’aide
des coordonnées polaires :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
− − →
OM = r 0
− → u r
− → v
= r 0 ˙
θ − →
u θ
− → a
= −r 0 ˙
θ
2− → u r + r 0 ¨
θ
u θ = −
v 2
r 0
− → u r + r 0 ¨
θ
u θ .
2r 0
x
y
•
M 0
− → v 0
• M
− → v 0
•
O − → u x
− → u y
− → u r
− →
u θ
θ
− → u z
Figure 20.5 –
Mouvement circulaire.
4.2 Étude à partir du principe fondamental de la dynamique
a) Expression de la vitesse sur la trajectoire
On applique le principe fondamental de la dynamique à M de masse m :
m − → a = −G
mM A
r 2
0
− → u r .
On projette alors sur − → u r et on obtient :
−m
v 2
r 0
= −G
mM A
r 2
0
,
soit
v =
G M A
r 0
.
La norme de la vitesse − → v =
G M A
r 0
est donc constante. Le mouvement est uniforme.
Les trajectoires circulaires de rayon r 0 autour d’un astre attracteur de masse M A sont
parcourues à vitesse uniforme v 0 . Le principe fondamental de la dynamique permet
d’établir la relation liant r 0 et v 0 :
v 0 =
G M A
r 0
.
Pour mettre en orbite un satellite artificiel sur une trajectoire circulaire autour de la Terre, il
faut donc contrôler parfaitement la vitesse de satellisation, à la fois en direction et en norme.
b) Expression des grandeurs énergétiques
On peut établir les expressions des différentes grandeurs énergétiques :
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