ÉTUDE DIRECTE DE LA TRAJECTOIRE CIRCULAIRE
b) Analyse de la courbe d’énergie potentielle effective
On distingue alors quatre possibilités :
• si E m < E min , le mouvement est impossible ;
• si E m = E min , le mouvement est réalisé à r = r 0 fixé. Comme C = r 2
0
˙
θ , on obtient :
˙
θ =
C
r 2
0
= Cte.
r et ˙
θ étant fixés, le mouvement est circulaire et uniforme ;
• si 0 > E m > E min , l’ensemble des distances r accessibles est un intervalle borné compris
entre les positions r 1 = r ∗
1 r 0 et r 2 = r ∗
2 r 0 où r ∗
1 et r ∗
2 sont définies sur la figure 20.4. Le
système est dans un état lié. Il reste dans le puits de potentiel créé par l’astre A ;
• si E m ≥ 0, l’ensemble des distances r accessibles est un intervalle de taille infinie de la
forme [r 3 , +∞[ avec r 3 = r ∗
3 r 0 où r ∗
3 est définie sur la figure 20.4. Le système est dans un
état de diffusion. Il peut sortir du puits de potentiel créé par l’astre A.
−1
E ∗
m lié
E ∗
m libre
1
r ∗
1
r ∗
2
r ∗
3
O
r ∗
E ∗
p eff
(r ∗ )
Figure 20.4 – Courbe d’énergie potentielle effective.
4 Étude directe de la trajectoire circulaire
La trajectoire circulaire est très importante car elle permet de comprendre la majorité des
phénomènes concernant les états liés tout en restant simple du point de vue mathématique. Par
ailleurs, les trajectoires des planètes sont très proches de trajectoires circulaires centrées sur
le Soleil. Le caractère circulaire des trajectoires permet d’en faire une étude directe simple.
4.1 Position du problème
On restreint l’étude du problème précédent au cas où la trajectoire de M est un cercle de rayon
r 0 et centre O, centre attracteur de la force. Le point M est soumis à la seule force d’attraction
gravitationnelle
− →
f = −G
mM A
r 2
0
− → u r qui dérive de l’énergie potentielle E p (r) = −G
mM A
r
.
On a démontré la planéité du mouvement mais on peut remarquer que postuler sa circularité
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b) Analyse de la courbe d’énergie potentielle effective
On distingue alors quatre possibilités :
• si E m < E min , le mouvement est impossible ;
• si E m = E min , le mouvement est réalisé à r = r 0 fixé. Comme C = r 2
0
˙
θ , on obtient :
˙
θ =
C
r 2
0
= Cte.
r et ˙
θ étant fixés, le mouvement est circulaire et uniforme ;
• si 0 > E m > E min , l’ensemble des distances r accessibles est un intervalle borné compris
entre les positions r 1 = r ∗
1 r 0 et r 2 = r ∗
2 r 0 où r ∗
1 et r ∗
2 sont définies sur la figure 20.4. Le
système est dans un état lié. Il reste dans le puits de potentiel créé par l’astre A ;
• si E m ≥ 0, l’ensemble des distances r accessibles est un intervalle de taille infinie de la
forme [r 3 , +∞[ avec r 3 = r ∗
3 r 0 où r ∗
3 est définie sur la figure 20.4. Le système est dans un
état de diffusion. Il peut sortir du puits de potentiel créé par l’astre A.
−1
E ∗
m lié
E ∗
m libre
1
r ∗
1
r ∗
2
r ∗
3
O
r ∗
E ∗
p eff
(r ∗ )
Figure 20.4 – Courbe d’énergie potentielle effective.
4 Étude directe de la trajectoire circulaire
La trajectoire circulaire est très importante car elle permet de comprendre la majorité des
phénomènes concernant les états liés tout en restant simple du point de vue mathématique. Par
ailleurs, les trajectoires des planètes sont très proches de trajectoires circulaires centrées sur
le Soleil. Le caractère circulaire des trajectoires permet d’en faire une étude directe simple.
4.1 Position du problème
On restreint l’étude du problème précédent au cas où la trajectoire de M est un cercle de rayon
r 0 et centre O, centre attracteur de la force. Le point M est soumis à la seule force d’attraction
gravitationnelle
− →
f = −G
mM A
r 2
0
− → u r qui dérive de l’énergie potentielle E p (r) = −G
mM A
r
.
On a démontré la planéité du mouvement mais on peut remarquer que postuler sa circularité
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