CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
coordonnées polaires et on aboutit aux équations du mouvement :
⎧
⎨
⎩
C
= r 2 ˙
θ
E m =
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 ˙
θ
2
− G
mM A
r
.
(20.2)
3.2 Étude qualitative du mouvement radial
On écrit l’énergie mécanique en éliminant ˙
θ grâce à la constante de aires C :
E m =
1
2
m˙ r
2
+
1
2
m
C 2
r 2 − G
mM A
r
=
1
2
m˙ r
2
+ E p eff (r)
où
E p eff (r) =
1
2
m
C 2
r 2 − G
mM A
r
.
a) Tracé de la courbe d’énergie potentielle effective
On étudie la courbe E p eff (r) pour pouvoir la tracer. Sa dérivée s’écrit :
dE p eff
dr
= −m
C 2
r 3 + G
mM A
r 2 .
Elle s’annule en r 0 =
C 2
G M A
où elle atteint la valeur :
E min = −
m
2
G 2 M 2
A
C 2 = −
G M A m
2r 0
.
On prend r 0 comme échelle des distances et E 0 = −E min = G M A m/2r 0 comme échelle
d’énergie. On rend l’expression de l’énergie potentielle effective adimensionnelle en introduisant : E
∗
p eff
=
E p eff
E 0
et r
∗
=
r
r 0
. Or, r 0 =
C 2
G M A
⇔
C 2
r 0
= G M A donc :
1
2
m
C 2
r 2 =
1
2
m
C 2
r 2
0
1
r ∗2 =
1
2
m
G M A
r 0
1
r ∗2 = E 0
1
r ∗2 .
Par ailleurs, on a −G
mM A
r
= −G
mM A
r 0
1
r ∗ = −E 0
1
r ∗ . E
∗
p eff
(r
∗
) est alors égal à :
E
∗
p eff
(r
∗
) =
1
r ∗2 −
2
r ∗ ,
que l’on a représentée à l’aide d’un logiciel dédié sur la figure 20.4.
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