CAS PARTICULIER DE L’ATTRACTION GRAVITATIONNELLE
c) Étude qualitative du mouvement radial
Dans un premier temps, on ne cherche pas à résoudre complètement le problème mais uniquement à trouver l’évolution de la distance radiale
− − →
OM = r. Pour cela, on élimine θ entre
les deux équations du système précédent. On écrit : ˙
θ =
C
r 2 et on remplace dans l’expression
de l’énergie mécanique pour obtenir l’énergie mécanique :
E m =
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 C
2
r 4
+ E p (r) =
1
2
m˙ r
2
+
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r).
On pose alors :
E p eff (r) =
1
2
m
C 2
r 2 + E p (r)
et on aboutit à l’équation :
E m =
1
2
m˙ r
2
+ E p eff (r).
E p eff est la somme de la partie de l’énergie cinétique liée au mouvement orthoradial et de
l’énergie potentielle. Elle est homogène à une énergie et s’apparente à l’énergie potentielle
utile pour étudier le mouvement radial de M. On l’appelle énergie potentielle effective.
Le mouvement radial s’apparente à un mouvement conservatif à un degré de liberté
dans une énergie potentielle effective :
E p eff (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r).
Ce type d’équation a été étudié dans le chapitre sur l’énergie. On applique la même méthode.
On utilise la conservation de l’énergie mécanique et le fait que le terme
1
2 m˙ r 2 est toujours
positif pour étudier qualitativement le mouvement radial et déterminer l’ensemble des positions accessibles. Pour cela, il est nécessaire de connaître l’évolution de l’énergie potentielle
en fonction de r. On présente la méthode sur le cas particulier de l’attraction gravitationnelle,
mais elle peut être adaptée à d’autres forces.
3 Cas particulier de l’attraction gravitationnelle
3.1 Position du problème
On s’intéresse au mouvement d’un point M de masse m en interaction gravitationnelle avec
un astre de masse M A situé en O. On se place dans la situation où M A m de sorte que
l’action de la masse m sur M A ne permet pas de mettre M A en mouvement. Dans ce cas, on
a vu au paragraphe 1.2, que le point M est soumis à la force d’attraction gravitationnelle :
− →
f = −G
mM A
r 2
− → u r qui dérive de l’énergie potentielle E p (r) = −G
mM A
r
.
Cette force est une force centrale conservative. Le mouvement satisfait donc aux conservations du moment cinétique et de l’énergie mécanique. Le mouvement est plan, on l’étudie en
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c) Étude qualitative du mouvement radial
Dans un premier temps, on ne cherche pas à résoudre complètement le problème mais uniquement à trouver l’évolution de la distance radiale
− − →
OM = r. Pour cela, on élimine θ entre
les deux équations du système précédent. On écrit : ˙
θ =
C
r 2 et on remplace dans l’expression
de l’énergie mécanique pour obtenir l’énergie mécanique :
E m =
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 C
2
r 4
+ E p (r) =
1
2
m˙ r
2
+
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r).
On pose alors :
E p eff (r) =
1
2
m
C 2
r 2 + E p (r)
et on aboutit à l’équation :
E m =
1
2
m˙ r
2
+ E p eff (r).
E p eff est la somme de la partie de l’énergie cinétique liée au mouvement orthoradial et de
l’énergie potentielle. Elle est homogène à une énergie et s’apparente à l’énergie potentielle
utile pour étudier le mouvement radial de M. On l’appelle énergie potentielle effective.
Le mouvement radial s’apparente à un mouvement conservatif à un degré de liberté
dans une énergie potentielle effective :
E p eff (r) =
1
2
m
C
2
r 2 + E p (r).
Ce type d’équation a été étudié dans le chapitre sur l’énergie. On applique la même méthode.
On utilise la conservation de l’énergie mécanique et le fait que le terme
1
2 m˙ r 2 est toujours
positif pour étudier qualitativement le mouvement radial et déterminer l’ensemble des positions accessibles. Pour cela, il est nécessaire de connaître l’évolution de l’énergie potentielle
en fonction de r. On présente la méthode sur le cas particulier de l’attraction gravitationnelle,
mais elle peut être adaptée à d’autres forces.
3 Cas particulier de l’attraction gravitationnelle
3.1 Position du problème
On s’intéresse au mouvement d’un point M de masse m en interaction gravitationnelle avec
un astre de masse M A situé en O. On se place dans la situation où M A m de sorte que
l’action de la masse m sur M A ne permet pas de mettre M A en mouvement. Dans ce cas, on
a vu au paragraphe 1.2, que le point M est soumis à la force d’attraction gravitationnelle :
− →
f = −G
mM A
r 2
− → u r qui dérive de l’énergie potentielle E p (r) = −G
mM A
r
.
Cette force est une force centrale conservative. Le mouvement satisfait donc aux conservations du moment cinétique et de l’énergie mécanique. Le mouvement est plan, on l’étudie en
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