CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
La conservation du moment cinétique implique la loi des aires : les aires balayées par le
rayon vecteur pendant des intervalles de temps égaux de durée Δt sont égales et valent :
ΔA =
C
2
Δt.
2.2 Conséquence du caractère conservatif de la force
Dans ce paragraphe, on montre que le caractère conservatif de la force implique la conservation de l’énergie mécanique du système. On en déduit que l’on peut étudier qualitativement
le mouvement radial du point M en introduisant une énergie potentielle effective.
a) L’énergie mécanique est conservée
On applique le théorème de l’énergie cinétique au système M de masse m dans le référentiel
R galiléen. M n’est soumis qu’à la seule force
− →
f qui est conservative et dérive de l’énergie
potentielle E p . On en déduit :
dE m
dt
=
dE c + E p
dt
= 0.
L’énergie mécanique :
E m = E c + E p =
1
2
mv
2
+ E p
est conservée au cours du mouvement. C’est une intégrale première du mouvement.
On détermine la valeur de l’énergie mécanique à l’aide des conditions initiales qui précisent
la position initiale et donc l’énergie potentielle initiale E p0 , ainsi que la vitesse initiale et donc
l’énergie cinétique initiale E c0 .
b) Notion d’énergie potentielle effective
On a vu précédemment que le mouvement est plan et qu’on l’étudie en coordonnées polaires.
Dans ces conditions, l’énergie potentielle ne dépend que de r et on la note E p (r). On utilise
les relations cinématiques
− − →
OM = r − → u r et − → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ pour calculer l’énergie cinétique
E c =
1
2
mv
2
=
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 ˙
θ
2
. On aboutit alors à l’équation énergétique :
E m =
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 ˙
θ
2
+ E p (r),
puis au système d’équations du mouvement :
⎧
⎨
⎩
C
= r 2 ˙
θ
E m =
1
2
m
˙
r
2
+ r
2 ˙
θ
2
+ E p (r).
Le problème étant à deux degrés de liberté r et θ , la connaissance de ces deux équations
permet de résoudre complètement le problème à condition de connaître la fonction E p (r).
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