GÉNÉRALITÉS SUR LES FORCES CENTRALES CONSERVATIVES
généralement d’orienter l’axe (Oz) dans le même sens que (O,
− →
L O ) et les coordonnées
cylindriques sont alors les coordonnées naturelles. L’orientation de l’axe (Oz) dans le
sens de
− →
L O implique que ˙
θ est positif donc que θ est croissant. Le mouvement est
réalisé dans le sens direct autour de (Oz).
d) Loi des aires
Le moment cinétique en O ainsi que la masse m sont conservés. La quantité r 2 ˙
θ =
− →
L O
m
l’est
donc également.
On définit la constante des aires : C = r
2 ˙
θ =
− →
L O
m
.
Cette constante, exprimée en m 2 ·s −1 , peut être évaluée à l’instant initial : C =
− − →
OM 0 ∧ − → v 0 .
La dimension de C dt est celle d’une aire que l’on interpréte géométriquement à l’aide de la
figure 20.3.
− →
L O
•
M(t)
•
M(t + dt)
dA
rdθ
x
y
•
O
− → u x
− → u y
r
r + dr
dθ
O •
M(t)
•
M(t + dt)
•
OM(t + dt) sin(dθ )
Figure 20.3 – Aire dA balayée par le rayon vecteur
− − →
OM pendant dt.
L’aire dA balayée par le rayon vecteur
− − →
OM pendant dt est grisée sur la figure 20.3. Elle
correspond à l’aire du triangle OM(t)M(t + dt) :
dA =
1
2
− − →
OM(t)
− − →
OM(t + dt) sin(dθ )
=
1
2
r
2 dθ ,
en assimilant sin(dθ ) à dθ et r + dr à r. L’aire balayée pendant dt vaut donc :
dA =
1
2
C dt.
La constante V =
dA
dt
=
C
2
est appelée vitesse aréolaire. La loi des aires stipule que la
vitesse aréolaire est constante et précise que sa valeur est
C
2
.
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