CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
Le moment cinétique par rapport au centre de force O :
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v
est conservé au cours du mouvement. C’est une intégrale première du mouvement.
On peut déterminer la valeur du moment cinétique en O en utilisant un instant particulier pour
lequel on connaît la position et la vitesse. On la détermine souvent à l’aide des conditions
initiales qui précisent la position initiale
− − →
OM 0 ainsi que la vitesse initiale − → v 0 .
b) Planéité de la trajectoire
La conservation du moment cinétique implique que le mouvement est plan.
En effet, dans le cas général, les conditions initiales (position
−− →
OM 0 et vitesse − → v 0 ) permettent
de définir un plan P = (O,
− −→
OM 0 , − → v 0 ) et d’évaluer le moment cinétique à l’instant initial :
− →
L O =
−− →
OM 0 ∧ m − → v 0 .
Par définition du produit vectoriel,
− →
L O est perpendiculaire au plan P et on peut redéfinir le
plan P comme le plan passant par O et perpendiculaire à
− →
L O . Or, le moment cinétique
− →
L O est
conservé au cours du mouvement et, par définition du produit vectoriel,
− − →
OM est perpendiculaire à
− →
L O . Il s’en suit que le point M est situé dans le plan passant par O et perpendiculaire à
− →
L O fixe. M est donc situé dans le plan P à tout instant. Son mouvement est plan.
c) Cas des coordonnées polaires
En pratique, le moment cinétique
− →
L O étant conservé et non nul, on pose − → u z =
− →
L O
− →
L O
. La
définition de
− →
L O et les propriétés du produit vectoriel imposent à
− − →
OM d’être perpendiculaire à
− →
L O donc à − → u z . Le point M appartient alors au plan passant par O et perpendiculaire à − → u z , c’està-dire au plan (Oxy). Les coordonnées adaptées à ce type de problème sont les coordonnées
polaires d’origine O qui est le centre de la force
− →
f et on obtient :
− − →
OM = r − → u r
et
− → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ ,
d’où on tire :
− →
L O = mr
2 ˙
θ −
→ u z .
Remarque
Les forces centrales de centre O sont à symétrie sphérique de centre O : le problème
reste inchangé par une rotation quelconque autour de O. La conservation du moment
cinétique
− →
L O implique que l’axe (O,
− →
L O ) est un axe de symétrie du problème. On choisit
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Le moment cinétique par rapport au centre de force O :
− →
L O =
− − →
OM ∧ m − → v
est conservé au cours du mouvement. C’est une intégrale première du mouvement.
On peut déterminer la valeur du moment cinétique en O en utilisant un instant particulier pour
lequel on connaît la position et la vitesse. On la détermine souvent à l’aide des conditions
initiales qui précisent la position initiale
− − →
OM 0 ainsi que la vitesse initiale − → v 0 .
b) Planéité de la trajectoire
La conservation du moment cinétique implique que le mouvement est plan.
En effet, dans le cas général, les conditions initiales (position
−− →
OM 0 et vitesse − → v 0 ) permettent
de définir un plan P = (O,
− −→
OM 0 , − → v 0 ) et d’évaluer le moment cinétique à l’instant initial :
− →
L O =
−− →
OM 0 ∧ m − → v 0 .
Par définition du produit vectoriel,
− →
L O est perpendiculaire au plan P et on peut redéfinir le
plan P comme le plan passant par O et perpendiculaire à
− →
L O . Or, le moment cinétique
− →
L O est
conservé au cours du mouvement et, par définition du produit vectoriel,
− − →
OM est perpendiculaire à
− →
L O . Il s’en suit que le point M est situé dans le plan passant par O et perpendiculaire à
− →
L O fixe. M est donc situé dans le plan P à tout instant. Son mouvement est plan.
c) Cas des coordonnées polaires
En pratique, le moment cinétique
− →
L O étant conservé et non nul, on pose − → u z =
− →
L O
− →
L O
. La
définition de
− →
L O et les propriétés du produit vectoriel imposent à
− − →
OM d’être perpendiculaire à
− →
L O donc à − → u z . Le point M appartient alors au plan passant par O et perpendiculaire à − → u z , c’està-dire au plan (Oxy). Les coordonnées adaptées à ce type de problème sont les coordonnées
polaires d’origine O qui est le centre de la force
− →
f et on obtient :
− − →
OM = r − → u r
et
− → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ ,
d’où on tire :
− →
L O = mr
2 ˙
θ −
→ u z .
Remarque
Les forces centrales de centre O sont à symétrie sphérique de centre O : le problème
reste inchangé par une rotation quelconque autour de O. La conservation du moment
cinétique
− →
L O implique que l’axe (O,
− →
L O ) est un axe de symétrie du problème. On choisit
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