GÉNÉRALITÉS SUR LES FORCES CENTRALES CONSERVATIVES
lorsque e augmente. On peut se rendre compte de cette propriété sur la figure 20.2 et quelques
propriétés des ellipses sont détaillées dans l’annexe mathématique. On remarque que, lorsque
e ≤ 0, 2, l’ellipse est très proche d’un cercle dont le centre est décalé par rapport à S.
x
y
•
S
z
e = 0
x
y
•
S
z
e = 0, 1
x
y
•
S
z
e = 0, 2
x
y
•
S
z
e = 0, 5
Figure 20.2 – Évolution de la forme d’une l’ellipse de foyer S en fonction de son
excentricité e. Les orbites des planètes du système solaire ont une excentricité
inférieure ou égale à 0,21 .
Mercure Venus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune
d
57,9
108
150
228
778
1430
2870
4500
e
0,206
0,007 0,017 0,093 0,005
0,055
0,048
0,009
a
0,387
0,723
1
1,524 5,202
9,555
19,22
30,11
T 1
0,241
0,615
1
1,882 11,86
29,46
84,02
164,8
Tableau 20.1 – Principales caractéristiques des orbites des planètes du système
solaire : d = rayon moyen en million de km, e = excentricité, a demi grand axe en unité
astronomique, T 1 = période de révolution sidérale en année.
2 Généralités sur les forces centrales conservatives
2.1 Conséquence du caractère central de la force
Dans ce paragraphe, on montre que le caractère central de la force implique la conservation
du moment cinétique en O du système. On en déduit que le mouvement est plan et vérifie la
loi des aires.
a) Conservation du moment cinétique
On applique le théorème du moment cinétique au système M de masse m par rapport au point
O fixe dans le référentiel R galiléen :
d
− →
L O
dt
=
− − →
M O (
− →
f ).
− →
f est une force centrale. Par définition, elle est colinéaire au vecteur
− − →
OM. D’après les propriétés du produit vectoriel entre vecteurs colinéaires, on trouve
− − →
M O (
− →
f ) =
− − →
OM ∧
−
→
f =
− →
0 .
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lorsque e augmente. On peut se rendre compte de cette propriété sur la figure 20.2 et quelques
propriétés des ellipses sont détaillées dans l’annexe mathématique. On remarque que, lorsque
e ≤ 0, 2, l’ellipse est très proche d’un cercle dont le centre est décalé par rapport à S.
x
y
•
S
z
e = 0
x
y
•
S
z
e = 0, 1
x
y
•
S
z
e = 0, 2
x
y
•
S
z
e = 0, 5
Figure 20.2 – Évolution de la forme d’une l’ellipse de foyer S en fonction de son
excentricité e. Les orbites des planètes du système solaire ont une excentricité
inférieure ou égale à 0,21 .
Mercure Venus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune
d
57,9
108
150
228
778
1430
2870
4500
e
0,206
0,007 0,017 0,093 0,005
0,055
0,048
0,009
a
0,387
0,723
1
1,524 5,202
9,555
19,22
30,11
T 1
0,241
0,615
1
1,882 11,86
29,46
84,02
164,8
Tableau 20.1 – Principales caractéristiques des orbites des planètes du système
solaire : d = rayon moyen en million de km, e = excentricité, a demi grand axe en unité
astronomique, T 1 = période de révolution sidérale en année.
2 Généralités sur les forces centrales conservatives
2.1 Conséquence du caractère central de la force
Dans ce paragraphe, on montre que le caractère central de la force implique la conservation
du moment cinétique en O du système. On en déduit que le mouvement est plan et vérifie la
loi des aires.
a) Conservation du moment cinétique
On applique le théorème du moment cinétique au système M de masse m par rapport au point
O fixe dans le référentiel R galiléen :
d
− →
L O
dt
=
− − →
M O (
− →
f ).
− →
f est une force centrale. Par définition, elle est colinéaire au vecteur
− − →
OM. D’après les propriétés du produit vectoriel entre vecteurs colinéaires, on trouve
− − →
M O (
− →
f ) =
− − →
OM ∧
−
→
f =
− →
0 .
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