CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
1.3 Observations de mouvements à force centrale conservative
La première étude des mouvements à force centrale conservative est l’étude des trajectoires
des planètes du système solaire. L’analyse scientifique précise de ces mouvements remonte
au XVII e siècle. Elle est résumée en trois lois énoncées par J. Kepler en 1609 et 1618.
a) Les lois expérimentales de Kepler
Ces lois énoncent les caractéristiques principales des mouvements des planètes soumises à
l’attraction gravitationnelle exercée par le Soleil. Elles font appel à la notion d’ellipse qui est
définie dans l’annexe mathématique.
Loi des orbites : Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques
dont le Soleil occupe l’un des foyers.
Loi des aires : Les aires balayées par le segment [SP] (où S représente le Soleil et P une
planète) pendant des intervalles de temps égaux sont égales.
Loi des périodes : Le carré de la période de révolution d’une planète autour du Soleil
est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique :
T
2
a 3 = Cte.
On peut calculer cette constante à l’aide des paramètres du mouvement orbital de la Terre
autour du Soleil à savoir :
• sa période T = 1 an,
• la distance Terre - Soleil qui définit l’unité astronomique 1 ua = 150.10 6 km.
On trouve alors
T 2
a 3 =
(1 an) 2
(1 ua) 3 =
(365 × 24 × 3600) 2
(150.10 9 ) 3
= 2,9.10
−19 s
2
·m
−3
.
La valeur obtenue est valable pour l’ensemble des planètes du système solaire.
Une partie de ces lois s’applique à tous les mouvements à force centrale conservative. La
nature de la trajectoire est cependant spécifique de la dépendance en
1
r 2 de l’attraction gravitationnelle et ne s’applique donc qu’aux forces newtoniennes. Le but de ce cours est de
démontrer une partie de ces résultats à partir des caractéristiques de la loi d’attraction gravitationnelle.
b) Quelques données sur les planètes du système solaire
Pour commencer, la culture générale d’un scientifique comporte quelques connaissances sur
le système solaire et il est bien de connaître :
• le nom et l’ordre des planètes du système solaire. Pour cela existe de nombreuses phrases
mnémotechniques comme « Me Voilà Tout Mouillé, J’étais Sous Un Nuage » ;
• la masse de la Terre M T = 6,0.10 24 kg, son rayon R T = 6,4.10 3 km, la distance Terre-Soleil
D T S = 1 ua = 150.10 6 km et la masse du Soleil M S = 2,0.10 30 kg.
On peut également noter que les excentricités e des trajectoires des planètes sont faibles. Par
conséquent, leurs orbites sont quasi-circulaires. En effet, e caractérise l’écart entre un cercle
et une ellipse : l’ellipse est réduite à un cercle lorsque e = 0 et son allongement augmente
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1.3 Observations de mouvements à force centrale conservative
La première étude des mouvements à force centrale conservative est l’étude des trajectoires
des planètes du système solaire. L’analyse scientifique précise de ces mouvements remonte
au XVII e siècle. Elle est résumée en trois lois énoncées par J. Kepler en 1609 et 1618.
a) Les lois expérimentales de Kepler
Ces lois énoncent les caractéristiques principales des mouvements des planètes soumises à
l’attraction gravitationnelle exercée par le Soleil. Elles font appel à la notion d’ellipse qui est
définie dans l’annexe mathématique.
Loi des orbites : Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques
dont le Soleil occupe l’un des foyers.
Loi des aires : Les aires balayées par le segment [SP] (où S représente le Soleil et P une
planète) pendant des intervalles de temps égaux sont égales.
Loi des périodes : Le carré de la période de révolution d’une planète autour du Soleil
est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique :
T
2
a 3 = Cte.
On peut calculer cette constante à l’aide des paramètres du mouvement orbital de la Terre
autour du Soleil à savoir :
• sa période T = 1 an,
• la distance Terre - Soleil qui définit l’unité astronomique 1 ua = 150.10 6 km.
On trouve alors
T 2
a 3 =
(1 an) 2
(1 ua) 3 =
(365 × 24 × 3600) 2
(150.10 9 ) 3
= 2,9.10
−19 s
2
·m
−3
.
La valeur obtenue est valable pour l’ensemble des planètes du système solaire.
Une partie de ces lois s’applique à tous les mouvements à force centrale conservative. La
nature de la trajectoire est cependant spécifique de la dépendance en
1
r 2 de l’attraction gravitationnelle et ne s’applique donc qu’aux forces newtoniennes. Le but de ce cours est de
démontrer une partie de ces résultats à partir des caractéristiques de la loi d’attraction gravitationnelle.
b) Quelques données sur les planètes du système solaire
Pour commencer, la culture générale d’un scientifique comporte quelques connaissances sur
le système solaire et il est bien de connaître :
• le nom et l’ordre des planètes du système solaire. Pour cela existe de nombreuses phrases
mnémotechniques comme « Me Voilà Tout Mouillé, J’étais Sous Un Nuage » ;
• la masse de la Terre M T = 6,0.10 24 kg, son rayon R T = 6,4.10 3 km, la distance Terre-Soleil
D T S = 1 ua = 150.10 6 km et la masse du Soleil M S = 2,0.10 30 kg.
On peut également noter que les excentricités e des trajectoires des planètes sont faibles. Par
conséquent, leurs orbites sont quasi-circulaires. En effet, e caractérise l’écart entre un cercle
et une ellipse : l’ellipse est réduite à un cercle lorsque e = 0 et son allongement augmente
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