FORCE CENTRALE CONSERVATIVE
b) Force d’interaction coulombienne
Soit O un point matériel fixe de charge q 1 et M un point matériel de charge q 2 . On note
ε 0 = 8,85.10
−12 F·m
−1 la permittivité du vide. La force coulombienne exercée par O(q 1 ) sur
M(q 2 ) est donnée par la relation :
− →
f =
1
4πε 0
q 1 q 2
r 2
− → u r ,
où r =
− − →
OM et − → u r =
− − →
OM
r
. Elle est portée par la droite (OM). Il s’agit donc d’une force
centrale de centre O. Elle est également conservative et, d’après l’équation (20.1), elle dérive
de l’énergie potentielle E p telle que :
dE p
dr
= −
q 1 q 2
4πε 0
1
r 2 =
d
dr
q 1 q 2
4πε 0 r
=⇒
E p =
q 1 q 2
4πε 0 r
.
en fixant la référence d’énergie potentielle nulle à l’infini.
Le module des forces gravitationnelle et coulombienne est proportionnel à l’inverse du carré
de la distance OM. On parle de forces en
1
r 2 . Ce sont des forces newtoniennes.
Les forces gravitationnelle et coulombienne sont un type particulier de forces centrales
conservatives appelées forces newtoniennes. Elles s’expriment en coordonnées sphériques sous la forme :
− →
f = −
K
r 2
− → u r
et dérivent de l’énergie potentielle :
E p (r) = −
K
r
.
c) Force de rappel élastique (force harmonique)
Soit O un point fixe et M un point matériel mobile lié à O par une force de rappel élastique :
− →
f = −k(r − r 0 ) − → u r = −mω
2
0 (r − r 0 ) − → u r
où ω 2
0 =
k
m
, r =
− − →
OM et − → u r =
− − →
OM
r
. Cette force est portée par la droite (OM) à tout instant.
Elle est donc centrale de centre O. Elle est également conservative et, d’après l’équation
(20.1), elle dérive de l’énergie potentielle E p telle que :
dE p
dr
= k(r − r 0 ) =
d
dr
1
2
k(r − r 0 )
2
.
On choisit généralement la référence d’énergie potentielle nulle en r = r 0 , ce qui conduit à :
E p =
1
2
k(r − r 0 )
2
=
1
2
mω
2
0 (r − r 0 )
2
.
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