CHAPITRE 20 – MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE CENTRALE. CHAMPS NEWTONIENS.
Une force conservative dérive d’une
énergie potentielle E p définie par la relation :
dE p = −δW (
− →
f ) = −
− →
f · d
− − →
OM.
En coordonnées sphériques, on peut
alors écrire :
dE p = −
− →
f · d
− − →
OM = − f r (r) − → u r · d
− − →
OM.
− → u r ·d
− − →
OM est le déplacement infinitésimal
radial de M dessiné sur la figure 20.1. Il
vaut dr. On en déduit :
dE p = − f r (r)dr ⇔ f r (r) = −
dE p
dr
.
O
x
− → u x
y
− → u y
z
− → u z
r
dr − → u r
ϕ
θ
dθ
dϕ
M •
M
•
•
Figure 20.1 – Coordonnées sphériques
et déplacement radial. M est tel que
−−→
MM = d
− − →
OM.
En coordonnées sphériques, une force centrale conservative s’écrit :
− →
f = f r (r) − → u r = −
dE p
dr
−
→ u r .
(20.1)
On peut noter que le problème est à symétrie sphérique de centre O et que la force et l’énergie
potentielle ne dépendent que de la coordonnée radiale r.
1.2 Exemples de forces centrales conservatives
Dans ce paragraphe, on décrit les forces centrales conservatives les plus courantes.
a) Force d’interaction gravitationnelle
Soit O un point matériel fixe de masse m 1 et M un point matériel de masse m 2 . On note
G = 6,67.10
−11 m
3
·kg
−1
·s
−2 la constante gravitationnelle. La force gravitationnelle exercée
par O(m 1 ) sur M(m 2 ) est donnée par la relation :
− →
f = −G
m 1 m 2
r 2
− → u r ,
où r =
− − →
OM et − → u r =
− − →
OM
r
. Elle est portée par la droite (OM). Il s’agit donc d’une force
centrale de centre O. Elle est également conservative et, d’après l’équation (20.1), elle dérive
de l’énergie potentielle E p telle que :
dE p
dr
= G
m 1 m 2
r 2 =
d
dr
−G
m 1 m 2
r
=⇒
E p = −G
m 1 m 2
r
,
en fixant la référence d’énergie potentielle nulle à l’infini.
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