Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
CORRIGÉS
19.1 Ordres de grandeur des moments cinétiques
1. Le moment d’inertie de la Terre par rapport à l’axe des pôles vaut J = 0, 33M T R
2
T =
8,1.10 37 kg·m 2 . Son moment cinétique vaut L = J ˙
θ avec ˙
θ =
2π rad
1 jour
= 7,3.10 −5 rad·s −1 .
Numériquement, on trouve : L 6.10 33 J·s.
2. Le moment cinétique par rapport au centre de la trajectoire circulaire confondue avec
le noyau vaut : L = mr 2
0
˙
θ = mr 2
0 2π f , avec r 0 = 5,3.10 −11 m. Numériquement, on trouve
L = 1.10
−34 J·s.
3. L = J ˙
θ avec J = mR 2 = 3,1.10 −1 kg·m 2 et ˙
θ =
1000 × 2 × 3, 14
60
= 105 rad·s −1 d’où L =
33 J·s.
19.2 Etude d’une poulie
1. Lorsque la poulie tourne d’un angle θ , on déroule une longueur de fil = Rθ . Avec le
choix des orientations de l’angle θ et de l’axe (Ax), on a donc ˙
x = R ˙
θ .
2. On étudie le mouvement de la poulie dans le référentiel terrestre galiléen. Cette poulie est
soumise à l’action de la liaison pivot d’axe (Oz), à la force exercée par l’opérateur et à la
traction exercée par le fil. La poulie est à l’équilibre lorsque la somme des moments de toutes
ces forces par rapport à l’axe de rotation (Oz) est nulle.
Le moment de l’action de la liaison pivot idéale est nul, reste celui des autres forces. Si l’on
suppose le fil sans masse, il transmet intégralement le poids m − → g et l’applique en A avec un
bras de levier R. L’opérateur exerce une force
− →
F verticale au point B diamétralement opposé
à A avec un bras de levier R également. On trouve alors FR = mgR soit F = mg = 50 N.
3. Une relation cinématique relie ces deux mouvements puisque la masse est attachée à un fil
qui s’enroule autour de la poulie. D’après la question 1, on a :
R ˙
θ = ˙
x.
On applique le principe fondamentale de la dynamique à la masse m soumise à son poids m − → g
et à la tension du fil sur la masse :
− →
T 1 = −T 1
− → u x . En projection sur la verticale, on obtient :
m ¨
x = mg − T 1 .
On applique la loi du du moment cinétique à la poulie en rotation autour d’un axe fixe soumis
à la tension du fil qui s’applique au point I :
− →
T 2 = T 2
− → u x dont le moment par rapport à l’axe de
rotation vaut RT 2 :
I ¨
θ = RT 2 .
Si l’on suppose le fil sans masse, il transmet intégralement la tension et T 1 = T 2 = T .
En combinant ces équations et en utilisant l’expression de I fournie dans l’énoncé, on trouve :
¨
θ =
g
R
1
1 + 0, 5
m p
m
; ¨
x = g
1
1 + 0, 5
m p
m
⇒ T = mg − m ¨
x = mg
⎛
⎝
0, 5
m p
m
1 + 0, 5
m p
m
⎞
⎠ .
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CORRIGÉS
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19.1 Ordres de grandeur des moments cinétiques
1. Le moment d’inertie de la Terre par rapport à l’axe des pôles vaut J = 0, 33M T R
2
T =
8,1.10 37 kg·m 2 . Son moment cinétique vaut L = J ˙
θ avec ˙
θ =
2π rad
1 jour
= 7,3.10 −5 rad·s −1 .
Numériquement, on trouve : L 6.10 33 J·s.
2. Le moment cinétique par rapport au centre de la trajectoire circulaire confondue avec
le noyau vaut : L = mr 2
0
˙
θ = mr 2
0 2π f , avec r 0 = 5,3.10 −11 m. Numériquement, on trouve
L = 1.10
−34 J·s.
3. L = J ˙
θ avec J = mR 2 = 3,1.10 −1 kg·m 2 et ˙
θ =
1000 × 2 × 3, 14
60
= 105 rad·s −1 d’où L =
33 J·s.
19.2 Etude d’une poulie
1. Lorsque la poulie tourne d’un angle θ , on déroule une longueur de fil = Rθ . Avec le
choix des orientations de l’angle θ et de l’axe (Ax), on a donc ˙
x = R ˙
θ .
2. On étudie le mouvement de la poulie dans le référentiel terrestre galiléen. Cette poulie est
soumise à l’action de la liaison pivot d’axe (Oz), à la force exercée par l’opérateur et à la
traction exercée par le fil. La poulie est à l’équilibre lorsque la somme des moments de toutes
ces forces par rapport à l’axe de rotation (Oz) est nulle.
Le moment de l’action de la liaison pivot idéale est nul, reste celui des autres forces. Si l’on
suppose le fil sans masse, il transmet intégralement le poids m − → g et l’applique en A avec un
bras de levier R. L’opérateur exerce une force
− →
F verticale au point B diamétralement opposé
à A avec un bras de levier R également. On trouve alors FR = mgR soit F = mg = 50 N.
3. Une relation cinématique relie ces deux mouvements puisque la masse est attachée à un fil
qui s’enroule autour de la poulie. D’après la question 1, on a :
R ˙
θ = ˙
x.
On applique le principe fondamentale de la dynamique à la masse m soumise à son poids m − → g
et à la tension du fil sur la masse :
− →
T 1 = −T 1
− → u x . En projection sur la verticale, on obtient :
m ¨
x = mg − T 1 .
On applique la loi du du moment cinétique à la poulie en rotation autour d’un axe fixe soumis
à la tension du fil qui s’applique au point I :
− →
T 2 = T 2
− → u x dont le moment par rapport à l’axe de
rotation vaut RT 2 :
I ¨
θ = RT 2 .
Si l’on suppose le fil sans masse, il transmet intégralement la tension et T 1 = T 2 = T .
En combinant ces équations et en utilisant l’expression de I fournie dans l’énoncé, on trouve :
¨
θ =
g
R
1
1 + 0, 5
m p
m
; ¨
x = g
1
1 + 0, 5
m p
m
⇒ T = mg − m ¨
x = mg
⎛
⎝
0, 5
m p
m
1 + 0, 5
m p
m
⎞
⎠ .
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