Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
Le mouvement de la masse m est uniformément accéléré avec une accélération inférieure à
g, qui tend vers g si la poulie est de masse négligeable et vers 0 si la poulie est très massive
comparativement à m.
19.3 Mouvement d’une sphère attachée au bout d’un fil
On étudie le mouvement de la sphère de petite taille dans le référentiel terrestre galiléen. Elle
est soumise à son poids, à la réaction du support assurant le mouvement horizontal et à la
tension du fil.
1. Le moment cinétique en O de la sphère vaut
− →
L O = m 0 v 0
− → u z . Son moment cinétique par
rapport à l’axe Oz vaut L (Oz) = m 0 v 0 .
2. Le moment du poids et de la réaction du support par rapport à l’axe (Oz) sont nuls car ces
deux forces s’appliquent parallèlement à (Oz). Le moment de la tension du fil est également
nul puisque cette force est parallèle à
− − →
OM (force centrale de centre O). On est donc dans un
cas de conservation du moment cinétique par rapport à l’axe (Oz).
Le moment cinétique, après raccourcissement du fil, vaut m 1 v 1 puisque la trajectoire est à
nouveau circulaire. On en déduit 0 v 0 = 1 v 1 . La vitesse de la sphère v 1 = v 0
0
1
= 2 m·s
−1
double par rapport à la vitesse initiale.
3. L’énergie cinétique E c =
1
2
mv 2 passe de E c 0 =
1
2
mv 2
0 à E c 1 =
1
2
mv 2
1 . Elle est quadruplée
et passe de E c 0 = 0,05 J à 0,20 J.
4. D’après le théorème de l’énergie cinétique, ΔE c = E c 1 − E c 0 = W où W est le travail des
forces appliquées à la bille. Or, le poids et la réaction du support sont perpendiculaires au
mouvement donc leur puissance est nulle. Seule la tension du fil a pu procurer cette énergie
à la bille. On peut comprendre cela en observant que, pendant le raccourcissement du fil,
la vitesse de la bille comporte une composante radiale ˙
r − → u r de sorte que la puissance de la
tension du fil
− →
T = T − → u r vaut P = T ˙
r. Cette puissance est positive puisque ˙
r < 0 (le rayon de
la trajectoire diminue) et T < 0 (le fil exerce une traction sur la bille).
C’est en fait la méthode que l’on utilise instinctivement, pour faire tournoyer une masse
accrochée au bout d’un fil de plus en plus vite.
19.4 Chute d’un arbre
On étudie le mouvement de la tige en rotation autour de son point d’appui considéré comme
un point fixe. La chute se fait dans un plan vertical (xOy) et on repère la position de l’arbre par
l’angle θ qu’il fait avec la verticale (figure 19.15). L’arbre est soumis à son poids
− →
P = m − → g
qui s’applique en son centre de gravité situé au milieu de la tige et à la réaction du sol qui
s’applique au point d’appui.
1. On applique le théorème du moment cinétique à l’arbre considéré comme un solide en
rotation autour d’un axe fixe (Oz) dans le référentiel terrestre galiléen :
dJ (Oz)
dt
= M (Oz) (forces) .
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CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
Le mouvement de la masse m est uniformément accéléré avec une accélération inférieure à
g, qui tend vers g si la poulie est de masse négligeable et vers 0 si la poulie est très massive
comparativement à m.
19.3 Mouvement d’une sphère attachée au bout d’un fil
On étudie le mouvement de la sphère de petite taille dans le référentiel terrestre galiléen. Elle
est soumise à son poids, à la réaction du support assurant le mouvement horizontal et à la
tension du fil.
1. Le moment cinétique en O de la sphère vaut
− →
L O = m 0 v 0
− → u z . Son moment cinétique par
rapport à l’axe Oz vaut L (Oz) = m 0 v 0 .
2. Le moment du poids et de la réaction du support par rapport à l’axe (Oz) sont nuls car ces
deux forces s’appliquent parallèlement à (Oz). Le moment de la tension du fil est également
nul puisque cette force est parallèle à
− − →
OM (force centrale de centre O). On est donc dans un
cas de conservation du moment cinétique par rapport à l’axe (Oz).
Le moment cinétique, après raccourcissement du fil, vaut m 1 v 1 puisque la trajectoire est à
nouveau circulaire. On en déduit 0 v 0 = 1 v 1 . La vitesse de la sphère v 1 = v 0
0
1
= 2 m·s
−1
double par rapport à la vitesse initiale.
3. L’énergie cinétique E c =
1
2
mv 2 passe de E c 0 =
1
2
mv 2
0 à E c 1 =
1
2
mv 2
1 . Elle est quadruplée
et passe de E c 0 = 0,05 J à 0,20 J.
4. D’après le théorème de l’énergie cinétique, ΔE c = E c 1 − E c 0 = W où W est le travail des
forces appliquées à la bille. Or, le poids et la réaction du support sont perpendiculaires au
mouvement donc leur puissance est nulle. Seule la tension du fil a pu procurer cette énergie
à la bille. On peut comprendre cela en observant que, pendant le raccourcissement du fil,
la vitesse de la bille comporte une composante radiale ˙
r − → u r de sorte que la puissance de la
tension du fil
− →
T = T − → u r vaut P = T ˙
r. Cette puissance est positive puisque ˙
r < 0 (le rayon de
la trajectoire diminue) et T < 0 (le fil exerce une traction sur la bille).
C’est en fait la méthode que l’on utilise instinctivement, pour faire tournoyer une masse
accrochée au bout d’un fil de plus en plus vite.
19.4 Chute d’un arbre
On étudie le mouvement de la tige en rotation autour de son point d’appui considéré comme
un point fixe. La chute se fait dans un plan vertical (xOy) et on repère la position de l’arbre par
l’angle θ qu’il fait avec la verticale (figure 19.15). L’arbre est soumis à son poids
− →
P = m − → g
qui s’applique en son centre de gravité situé au milieu de la tige et à la réaction du sol qui
s’applique au point d’appui.
1. On applique le théorème du moment cinétique à l’arbre considéré comme un solide en
rotation autour d’un axe fixe (Oz) dans le référentiel terrestre galiléen :
dJ (Oz)
dt
= M (Oz) (forces) .
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