CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
La puissance de la force
− →
f i appliquée en un point M i d’un solide en rotation autour d’un
axe fixe (Oz), est égale au produit du moment par rapport à (Oz) de cette force par la
vitesse angulaire ˙
θ de rotation du solide autour de cet axe :
P
− →
f i
= M (Oz)
− →
f i
˙
θ .
9.3 Loi de l’énergie cinétique pour un solide indéformable
Dans le référentiel R galiléen, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique d’un solide
indéformable en rotation autour d’un axe fixe, est égale à la puissance de l’ensemble
des forces extérieures
− →
f i qu’on lui applique :
dE c
dt
= ∑
i
P
− →
f i
.
Pour établir cette loi, on dérive l’expression de l’énergie cinétique et on trouve :
dE c
dt
=
d
dt
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
= J (Oz) ¨
θ ˙
θ .
(19.10)
Or, la loi du moment cinétique pour un solide en rotation autour de l’axe (Oz) fixe implique :
J (Oz) ¨
θ = ∑
i
M (Oz)
− →
f i
où M (Oz)
− →
f i
est le moment par rapport à (Oz) de la force extérieure
− →
f i appliquée au solide. En insérant cette relation dans l’équation (19.10), on obtient :
dE c
dt
= ∑
i
M (Oz)
− →
f i
˙
θ = ∑
i
P
− →
f i
,
où P
− →
f i
= M (Oz)
− →
f i
˙
θ est la puissance de la force
− →
f i .
La démonstration de la loi de l’énergie cinétique montre qu’elle est équivalente à la loi du
moment cinétique autour d’un axe fixe.
Pour étudier un solide en rotation autour d’un axe fixe, les lois de l’énergie cinétique ou
du moment cinétique sont équivalentes et donnent des équations identiques.
Par ailleurs, la définition de la puissance confirme la cohérence des notions de couples moteurs et de freinage vues au paragraphe 6.3. En effet, on retrouve que :
• lorsque M (Oz) est du même signe que ˙
θ , la puissance de la force est positive, le couple est
moteur ;
• lorsque M (Oz) est du signe opposé à ˙
θ , la puissance de la force est négative, le couple est
résistant.
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La puissance de la force
− →
f i appliquée en un point M i d’un solide en rotation autour d’un
axe fixe (Oz), est égale au produit du moment par rapport à (Oz) de cette force par la
vitesse angulaire ˙
θ de rotation du solide autour de cet axe :
P
− →
f i
= M (Oz)
− →
f i
˙
θ .
9.3 Loi de l’énergie cinétique pour un solide indéformable
Dans le référentiel R galiléen, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique d’un solide
indéformable en rotation autour d’un axe fixe, est égale à la puissance de l’ensemble
des forces extérieures
− →
f i qu’on lui applique :
dE c
dt
= ∑
i
P
− →
f i
.
Pour établir cette loi, on dérive l’expression de l’énergie cinétique et on trouve :
dE c
dt
=
d
dt
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
= J (Oz) ¨
θ ˙
θ .
(19.10)
Or, la loi du moment cinétique pour un solide en rotation autour de l’axe (Oz) fixe implique :
J (Oz) ¨
θ = ∑
i
M (Oz)
− →
f i
où M (Oz)
− →
f i
est le moment par rapport à (Oz) de la force extérieure
− →
f i appliquée au solide. En insérant cette relation dans l’équation (19.10), on obtient :
dE c
dt
= ∑
i
M (Oz)
− →
f i
˙
θ = ∑
i
P
− →
f i
,
où P
− →
f i
= M (Oz)
− →
f i
˙
θ est la puissance de la force
− →
f i .
La démonstration de la loi de l’énergie cinétique montre qu’elle est équivalente à la loi du
moment cinétique autour d’un axe fixe.
Pour étudier un solide en rotation autour d’un axe fixe, les lois de l’énergie cinétique ou
du moment cinétique sont équivalentes et donnent des équations identiques.
Par ailleurs, la définition de la puissance confirme la cohérence des notions de couples moteurs et de freinage vues au paragraphe 6.3. En effet, on retrouve que :
• lorsque M (Oz) est du même signe que ˙
θ , la puissance de la force est positive, le couple est
moteur ;
• lorsque M (Oz) est du signe opposé à ˙
θ , la puissance de la force est négative, le couple est
résistant.
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