ÉNERGIE D’UN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
9.1 Énergie cinétique d’un solide en rotation
On modélise le solide par un ensemble de points matériels M i de masse m i repérés en coordonnées cylindriques d’axe (Oz) : M i (r i , θ i , z i ). On a vu au paragraphe 3.2 que le moment
d’inertie du solide par rapport à (Oz) vaut alors J (Oz) = ∑
i
m i r
2
i . Par ailleurs, on a vu dans
le chapitre Cinématique du solide qu’un point M i quelconque du solide est en mouvement
circulaire de rayon r i à la vitesse angulaire commune ˙
θ . Sa vitesse est donc − → v i = r i ˙
θ − →
u θ i et
son énergie cinétique E c (M i ) =
1
2
m i v
2
i =
1
2
m i r
2
i
˙
θ
2
.
L’énergie cinétique du solide est obtenue par sommation de l’énergie cinétique de chacun des
points qui le constituent :
E c = ∑
i
E c (M i ) = ∑
i
1
2
m i r
2
i
˙
θ
2
=
1
2
∑
i
m i r
2
i
˙
θ
2
,
où on reconnaît l’expression du moment d’inertie du solide : J (Oz) = ∑
i
m i r
2
i .
Un solide de moment d’inertie J (Oz) en rotation autour d’un axe fixe (Oz) à la vitesse
angulaire ˙
θ possède l’énergie cinétique :
E c =
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
.
C’est bien l’énergie cinétique que l’on a trouvée au paragraphe 8 lors de la détermination
de l’intégrale première du mouvement. Il s’agissait alors d’un cas particulier de la loi de
l’énergie cinétique pour un solide en rotation que l’on va établir dans le paragraphe suivant.
Remarque
On peut mémoriser l’expression de l’énergie cinétique d’un solide en rotation autour de
l’axe (Oz) à partir de celle, bien connue, d’un solide en translation rectiligne sur l’axe
(Ox) : E c =
1
2
m ˙
x 2 . Il suffit de remplacer la masse par le moment d’inertie et la vitesse
linéaire par la vitesse angulaire.
9.2 Puissance d’une force appliquée sur un solide en rotation
On considère une force
− →
f i qui s’applique au point M i d’un solide en rotation autour de l’axe
(Oz) à la vitesse angulaire ˙
θ . La puissance de la force
− →
f i est égale au produit scalaire de la
force
− →
f i par la vitesse − →
v M i = r i ˙
θ − →
u θ i du point M i sur laquelle elle s’applique d’où :
P
− →
f i
=
− →
f i · − →
v M i =
− →
f i · r i ˙
θ − →
u θ i = f i θ r i ˙
θ = M (Oz)
− →
f i
˙
θ .
En effet, d’après l’équation 19.4, r i f i θ = M (Oz) .
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9.1 Énergie cinétique d’un solide en rotation
On modélise le solide par un ensemble de points matériels M i de masse m i repérés en coordonnées cylindriques d’axe (Oz) : M i (r i , θ i , z i ). On a vu au paragraphe 3.2 que le moment
d’inertie du solide par rapport à (Oz) vaut alors J (Oz) = ∑
i
m i r
2
i . Par ailleurs, on a vu dans
le chapitre Cinématique du solide qu’un point M i quelconque du solide est en mouvement
circulaire de rayon r i à la vitesse angulaire commune ˙
θ . Sa vitesse est donc − → v i = r i ˙
θ − →
u θ i et
son énergie cinétique E c (M i ) =
1
2
m i v
2
i =
1
2
m i r
2
i
˙
θ
2
.
L’énergie cinétique du solide est obtenue par sommation de l’énergie cinétique de chacun des
points qui le constituent :
E c = ∑
i
E c (M i ) = ∑
i
1
2
m i r
2
i
˙
θ
2
=
1
2
∑
i
m i r
2
i
˙
θ
2
,
où on reconnaît l’expression du moment d’inertie du solide : J (Oz) = ∑
i
m i r
2
i .
Un solide de moment d’inertie J (Oz) en rotation autour d’un axe fixe (Oz) à la vitesse
angulaire ˙
θ possède l’énergie cinétique :
E c =
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
.
C’est bien l’énergie cinétique que l’on a trouvée au paragraphe 8 lors de la détermination
de l’intégrale première du mouvement. Il s’agissait alors d’un cas particulier de la loi de
l’énergie cinétique pour un solide en rotation que l’on va établir dans le paragraphe suivant.
Remarque
On peut mémoriser l’expression de l’énergie cinétique d’un solide en rotation autour de
l’axe (Oz) à partir de celle, bien connue, d’un solide en translation rectiligne sur l’axe
(Ox) : E c =
1
2
m ˙
x 2 . Il suffit de remplacer la masse par le moment d’inertie et la vitesse
linéaire par la vitesse angulaire.
9.2 Puissance d’une force appliquée sur un solide en rotation
On considère une force
− →
f i qui s’applique au point M i d’un solide en rotation autour de l’axe
(Oz) à la vitesse angulaire ˙
θ . La puissance de la force
− →
f i est égale au produit scalaire de la
force
− →
f i par la vitesse − →
v M i = r i ˙
θ − →
u θ i du point M i sur laquelle elle s’applique d’où :
P
− →
f i
=
− →
f i · − →
v M i =
− →
f i · r i ˙
θ − →
u θ i = f i θ r i ˙
θ = M (Oz)
− →
f i
˙
θ .
En effet, d’après l’équation 19.4, r i f i θ = M (Oz) .
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