PENDULE PESANT
On trace alors
˙
θ
ω 0
en fonction de θ pour différentes valeurs de
E m
mgd
pour obtenir le portrait
de phase du pendule pesant dans le plan sans dimension
θ ,
˙
θ
ω 0
. On rappelle que l’énergie
cinétique étant positive, l’énergie mécanique ne peut jamais devenir inférieure au minimum
d’énergie potentielle, à savoir −mgd, ce qui implique que
E m
mgd
> −1. Ce diagramme de
phase est représenté sur la figure 19.10.
π
3π
−π
−3π
θ
˙
θ
ω 0
2
4
6
−2
−4
−6
Figure 19.10 – Portrait de phase d’un pendule pesant.
Les mouvements de faible amplitude sont pendulaires : le pendule réalise un mouvement
de va et vient entre deux positions extrêmes ±θ m . En ces positions extrêmes, l’énergie cinétique s’annule ce qui implique que :
E p (±θ m ) = E m où θ m ∈ [0, π[.
L’angle θ oscille périodiquement dans l’intervalle ] − θ m , θ m [. Le portrait de phase est similaire à celui d’un point matériel dans un puits de potentiel quelconque :
• lorsque l’amplitude est faible, les trajectoires de phase sont elliptiques (et même circulaires
avec des échelles des abscisses et des ordonnées adaptées), ce qui est la signature des
oscillateurs harmoniques ;
• lorsque l’amplitude devient importante, la trajectoire de phase se déforme mais reste fermée.
Pour des énergies plus importantes, le mouvement est révolutif : le pendule effectue une
succession de tours complets toujours dans le même sens. L’angle θ n’est plus borné (si l’on
néglige les frottements) et varie de 2π à chaque tour. La vitesse est maximale lorsque le centre
de gravité du pendule atteint son point le plus bas et minimale au point le plus haut.
La transition entre ces deux types de mouvement a lieu lorsque l’énergie mécanique devient supérieure à l’énergie potentielle maximale, ce qui permet au pendule de s’échapper
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On trace alors
˙
θ
ω 0
en fonction de θ pour différentes valeurs de
E m
mgd
pour obtenir le portrait
de phase du pendule pesant dans le plan sans dimension
θ ,
˙
θ
ω 0
. On rappelle que l’énergie
cinétique étant positive, l’énergie mécanique ne peut jamais devenir inférieure au minimum
d’énergie potentielle, à savoir −mgd, ce qui implique que
E m
mgd
> −1. Ce diagramme de
phase est représenté sur la figure 19.10.
π
3π
−π
−3π
θ
˙
θ
ω 0
2
4
6
−2
−4
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Figure 19.10 – Portrait de phase d’un pendule pesant.
Les mouvements de faible amplitude sont pendulaires : le pendule réalise un mouvement
de va et vient entre deux positions extrêmes ±θ m . En ces positions extrêmes, l’énergie cinétique s’annule ce qui implique que :
E p (±θ m ) = E m où θ m ∈ [0, π[.
L’angle θ oscille périodiquement dans l’intervalle ] − θ m , θ m [. Le portrait de phase est similaire à celui d’un point matériel dans un puits de potentiel quelconque :
• lorsque l’amplitude est faible, les trajectoires de phase sont elliptiques (et même circulaires
avec des échelles des abscisses et des ordonnées adaptées), ce qui est la signature des
oscillateurs harmoniques ;
• lorsque l’amplitude devient importante, la trajectoire de phase se déforme mais reste fermée.
Pour des énergies plus importantes, le mouvement est révolutif : le pendule effectue une
succession de tours complets toujours dans le même sens. L’angle θ n’est plus borné (si l’on
néglige les frottements) et varie de 2π à chaque tour. La vitesse est maximale lorsque le centre
de gravité du pendule atteint son point le plus bas et minimale au point le plus haut.
La transition entre ces deux types de mouvement a lieu lorsque l’énergie mécanique devient supérieure à l’énergie potentielle maximale, ce qui permet au pendule de s’échapper
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