CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
Le terme
1
2
J (Oz) ˙
θ
2 correspond à l’énergie cinétique de la barre en rotation autour de l’axe
(Oz). Le terme −mgd cosθ est l’énergie potentielle de pesanteur du solide car −d cosθ est
l’altitude du centre de gravité G comptée à partir de O (voir figure 19.8). E m est donc l’énergie
mécanique du solide. C’est une constante qui dépend des conditions initiales du mouvement.
b) Étude qualitative du mouvement
Pour réaliser une étude qualitative du mouvement, on utilise la démarche décrite dans le
chapitre Mouvement dans un puits de potentiel et on l’adapte au cas d’une variable angulaire.
On trace l’énergie potentielle sans dimension E
∗
p =
E p
mgd
= − cos θ en fonction de θ . E
∗
p est
obtenue à partir de l’énergie potentielle E p = −mgd cosθ en prenant l’énergie caractéristique
E 0 = mgd comme échelle d’énergie.
L’énergie potentielle est minimale lorsque θ est égal à 0 modulo 2π pour lesquels le centre
de gravité G du pendule pesant est situé en dessous de O et à sa verticale. Ces minima correspondent à la position d’équilibre stable du pendule pesant. L’énergie potentielle est maximale
lorsque θ est un multiple impair de π. Ces maxima correspondent à la position d’équilibre
instable du pendule pour laquelle G est à la verticale de O et au dessus.
On trace la droite horizontale d’ordonnée E ∗
m =
E m
mgd
qui doit être supérieure à E ∗
p et doit
donc se situer au dessus de la zone grisée.
Deux cas se présentent alors :
• si −1 < E ∗
m = E ∗
m 1
< 1, le pendule pesant
est dans un état lié. Il n’a pas l’énergie mécanique suffisante pour sortir du puits de
potentiel et on observe un mouvement pendulaire dont on peut déterminer l’amplitude
graphiquement ;
• soit E ∗
m = E ∗
m 2
> 1, le pendule pesant est
dans un état de diffusion avec une énergie suffisante pour sortir du puits de potentiel. Les mouvements sont alors des mouvements de révolution.
E ∗
m 1
E
∗
m 2
π 2π 3π
−π
−2π
−3π
θ
E ∗
p
0, 5
1
1, 5
−0, 5
−1
−1, 5
Figure 19.9 – Énergie potentielle
d’un pendule pesant. En pointillé,
l’énergie mécanique minimale
nécessaire pour obtenir un
mouvement de révolution.
8.4 Portrait de phase
On peut utiliser l’intégrale première du mouvement pour expliciter la vitesse angulaire ˙
θ en
fonction de l’angle θ et de l’énergie mécanique E m . On trouve :
˙
θ
ω 0
= ±
2
E m
mgd
+ cosθ
.
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Le terme
1
2
J (Oz) ˙
θ
2 correspond à l’énergie cinétique de la barre en rotation autour de l’axe
(Oz). Le terme −mgd cosθ est l’énergie potentielle de pesanteur du solide car −d cosθ est
l’altitude du centre de gravité G comptée à partir de O (voir figure 19.8). E m est donc l’énergie
mécanique du solide. C’est une constante qui dépend des conditions initiales du mouvement.
b) Étude qualitative du mouvement
Pour réaliser une étude qualitative du mouvement, on utilise la démarche décrite dans le
chapitre Mouvement dans un puits de potentiel et on l’adapte au cas d’une variable angulaire.
On trace l’énergie potentielle sans dimension E
∗
p =
E p
mgd
= − cos θ en fonction de θ . E
∗
p est
obtenue à partir de l’énergie potentielle E p = −mgd cosθ en prenant l’énergie caractéristique
E 0 = mgd comme échelle d’énergie.
L’énergie potentielle est minimale lorsque θ est égal à 0 modulo 2π pour lesquels le centre
de gravité G du pendule pesant est situé en dessous de O et à sa verticale. Ces minima correspondent à la position d’équilibre stable du pendule pesant. L’énergie potentielle est maximale
lorsque θ est un multiple impair de π. Ces maxima correspondent à la position d’équilibre
instable du pendule pour laquelle G est à la verticale de O et au dessus.
On trace la droite horizontale d’ordonnée E ∗
m =
E m
mgd
qui doit être supérieure à E ∗
p et doit
donc se situer au dessus de la zone grisée.
Deux cas se présentent alors :
• si −1 < E ∗
m = E ∗
m 1
< 1, le pendule pesant
est dans un état lié. Il n’a pas l’énergie mécanique suffisante pour sortir du puits de
potentiel et on observe un mouvement pendulaire dont on peut déterminer l’amplitude
graphiquement ;
• soit E ∗
m = E ∗
m 2
> 1, le pendule pesant est
dans un état de diffusion avec une énergie suffisante pour sortir du puits de potentiel. Les mouvements sont alors des mouvements de révolution.
E ∗
m 1
E
∗
m 2
π 2π 3π
−π
−2π
−3π
θ
E ∗
p
0, 5
1
1, 5
−0, 5
−1
−1, 5
Figure 19.9 – Énergie potentielle
d’un pendule pesant. En pointillé,
l’énergie mécanique minimale
nécessaire pour obtenir un
mouvement de révolution.
8.4 Portrait de phase
On peut utiliser l’intégrale première du mouvement pour expliciter la vitesse angulaire ˙
θ en
fonction de l’angle θ et de l’énergie mécanique E m . On trouve :
˙
θ
ω 0
= ±
2
E m
mgd
+ cosθ
.
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