PENDULE PESANT
verticale partant du point d’attache O. En pratique, seule la position θ eq 1 = 0 est réalisable
car c’est la seule qui est stable.
Remarque
On met en évidence une méthode qui permet de repérer expérimentalement la position
du centre de gravité d’un solide. Si l’on utilise un autre point d’attache, on trouve une
autre droite verticale. Le centre de gravité est alors à l’intersection des deux droites et
on peut déterminer la distance d.
8.2 Oscillations de faible amplitude
Lorsque les oscillations sont de faible amplitude au voisinage de la position d’équilibre
θ eq = 0, sin θ θ et l’équation (19.9) peut être linéarisée :
¨
θ + ω
2
0 θ = 0 où ω 0 =
mgd
J (Oz)
.
On reconnaît une équation d’oscillateur harmonique dont les solutions sont des sinusoïdes de
pulsation ω 0 :
θ (t) = θ m cos (ω 0 t + ϕ 0 ) .
θ m et ϕ 0 sont des constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales.
Étant donné que le solide oscille autour d’une position d’équilibre stable, il est normal de
trouver des oscillations harmoniques pour les petites oscillations autour de cette position.
Ces oscillations présentent la propriété remarquable d’avoir une période indépendante de
l’amplitude (isochronisme des petites oscillations). La mesure de cette période permet de
déterminer la valeur de J (Oz) , connaissant la position du centre de gravité, la masse du solide
et la valeur de l’accélération de pesanteur.
8.3 Intégrale première du mouvement et étude qualitative
a) Obtention d’une intégrale première du mouvement
On peut établir une intégrale première du mouvement à partir de l’équation (19.9). Pour cela,
on la multiplie par ˙
θ :
J (Oz) ¨
θ ˙
θ + mgd sinθ ˙
θ = J (Oz)
d
dt
˙
θ 2
2
− mgd
d
dt
(cos θ ) = 0,
puis on l’intègre par rapport au temps :
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
− mgd cosθ = constante = E m .
La quantité
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
− mgd cosθ = E m est donc une intégrale première du mouvement homogène à une énergie. En effet, J (Oz) se mesure en kg·m 2 et ˙
θ est homogène à l’inverse d’un
temps donc J (Oz) ˙
θ 2 se mesure en kg·m 2 ·s −2 = J.
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verticale partant du point d’attache O. En pratique, seule la position θ eq 1 = 0 est réalisable
car c’est la seule qui est stable.
Remarque
On met en évidence une méthode qui permet de repérer expérimentalement la position
du centre de gravité d’un solide. Si l’on utilise un autre point d’attache, on trouve une
autre droite verticale. Le centre de gravité est alors à l’intersection des deux droites et
on peut déterminer la distance d.
8.2 Oscillations de faible amplitude
Lorsque les oscillations sont de faible amplitude au voisinage de la position d’équilibre
θ eq = 0, sin θ θ et l’équation (19.9) peut être linéarisée :
¨
θ + ω
2
0 θ = 0 où ω 0 =
mgd
J (Oz)
.
On reconnaît une équation d’oscillateur harmonique dont les solutions sont des sinusoïdes de
pulsation ω 0 :
θ (t) = θ m cos (ω 0 t + ϕ 0 ) .
θ m et ϕ 0 sont des constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales.
Étant donné que le solide oscille autour d’une position d’équilibre stable, il est normal de
trouver des oscillations harmoniques pour les petites oscillations autour de cette position.
Ces oscillations présentent la propriété remarquable d’avoir une période indépendante de
l’amplitude (isochronisme des petites oscillations). La mesure de cette période permet de
déterminer la valeur de J (Oz) , connaissant la position du centre de gravité, la masse du solide
et la valeur de l’accélération de pesanteur.
8.3 Intégrale première du mouvement et étude qualitative
a) Obtention d’une intégrale première du mouvement
On peut établir une intégrale première du mouvement à partir de l’équation (19.9). Pour cela,
on la multiplie par ˙
θ :
J (Oz) ¨
θ ˙
θ + mgd sinθ ˙
θ = J (Oz)
d
dt
˙
θ 2
2
− mgd
d
dt
(cos θ ) = 0,
puis on l’intègre par rapport au temps :
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
− mgd cosθ = constante = E m .
La quantité
1
2
J (Oz) ˙
θ
2
− mgd cosθ = E m est donc une intégrale première du mouvement homogène à une énergie. En effet, J (Oz) se mesure en kg·m 2 et ˙
θ est homogène à l’inverse d’un
temps donc J (Oz) ˙
θ 2 se mesure en kg·m 2 ·s −2 = J.
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