CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
8 Pendule pesant
8.1 Position du problème et équation du mouvement
Un pendule pesant est un solide de masse m de forme quelconque mobile dans le champ de
pesanteur terrestre autour d’un axe horizontal fixe ne passant pas par son centre de gravité G
(figure 19.8).
On note (Oz) l’axe de rotation du solide, G son centre de gravité et J (Oz) son moment d’inertie
par rapport l’axe (Oz). On repère la position du solide par l’angle θ que fait la droite (OG)
avec la verticale descendante (Ox). On suppose que la liaison entre le solide et le référentiel
terrestre est une liaison pivot parfaite d’axe (Oz). Le solide est soumis à :
• l’action exercée par la liaison pivot. On suppose cette
liaison pivot idéale, ce qui implique que son moment
par rapport à l’axe (Oz) est nul ;
• son poids vertical descendant qui s’applique au centre
de gravité G. Son moment par rapport à (Oz) est égal
en module au produit mg × L où L = d sin θ est le bras
de levier représenté sur la figure 19.8. Cette force tend
à ramener le pendule vers sa position d’équilibre. Le
signe de son moment par rapport à (Oz) est opposé à
celui de sin θ . En effet, on voit sur la figure 19.8 que
θ > 0, sin θ > 0, et M (Oz) < 0. Au final :
M (Oz) = −mgd sinθ .
θ
G
− →
F G
d
O
z
x
y
•
L
Figure 19.8 – Pendule
pesant.
On applique au solide la loi du moment cinétique par rapport à l’axe orienté (Oz) fixe dans le
référentiel terrestre R supposé galiléen :
dL (Oz)
dt
= −mgd sinθ .
(19.8)
Le moment cinétique de la barre est égal L (Oz) = J (Oz) ˙
θ donc
dL (Oz)
dt
= J (Oz) ¨
θ . On injecte
alors cette relation dans l’équation (19.8) pour obtenir :
J (Oz) ¨
θ = −mgd sinθ ⇐⇒ ¨
θ +
mgd
J (Oz)
sin θ = 0.
(19.9)
Cette équation est du type ¨
θ + ω
2
0 sin θ = 0 avec ω 0 =
mgd
J (Oz)
. Il s’agit de la même équation
que celle que l’on a obtenue lors de l’étude du pendule simple.
Les positions d’équilibre θ eq 1 = 0 et θ eq 2 = π permettent au moment du poids par rapport à
(Oz) d’être égal à 0. Dans ces positions, la somme des moments des forces qui s’appliquent
au pendule est nulle. On remarque que dans ce cas, le centre de gravité est sur une droite
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8 Pendule pesant
8.1 Position du problème et équation du mouvement
Un pendule pesant est un solide de masse m de forme quelconque mobile dans le champ de
pesanteur terrestre autour d’un axe horizontal fixe ne passant pas par son centre de gravité G
(figure 19.8).
On note (Oz) l’axe de rotation du solide, G son centre de gravité et J (Oz) son moment d’inertie
par rapport l’axe (Oz). On repère la position du solide par l’angle θ que fait la droite (OG)
avec la verticale descendante (Ox). On suppose que la liaison entre le solide et le référentiel
terrestre est une liaison pivot parfaite d’axe (Oz). Le solide est soumis à :
• l’action exercée par la liaison pivot. On suppose cette
liaison pivot idéale, ce qui implique que son moment
par rapport à l’axe (Oz) est nul ;
• son poids vertical descendant qui s’applique au centre
de gravité G. Son moment par rapport à (Oz) est égal
en module au produit mg × L où L = d sin θ est le bras
de levier représenté sur la figure 19.8. Cette force tend
à ramener le pendule vers sa position d’équilibre. Le
signe de son moment par rapport à (Oz) est opposé à
celui de sin θ . En effet, on voit sur la figure 19.8 que
θ > 0, sin θ > 0, et M (Oz) < 0. Au final :
M (Oz) = −mgd sinθ .
θ
G
− →
F G
d
O
z
x
y
•
L
Figure 19.8 – Pendule
pesant.
On applique au solide la loi du moment cinétique par rapport à l’axe orienté (Oz) fixe dans le
référentiel terrestre R supposé galiléen :
dL (Oz)
dt
= −mgd sinθ .
(19.8)
Le moment cinétique de la barre est égal L (Oz) = J (Oz) ˙
θ donc
dL (Oz)
dt
= J (Oz) ¨
θ . On injecte
alors cette relation dans l’équation (19.8) pour obtenir :
J (Oz) ¨
θ = −mgd sinθ ⇐⇒ ¨
θ +
mgd
J (Oz)
sin θ = 0.
(19.9)
Cette équation est du type ¨
θ + ω
2
0 sin θ = 0 avec ω 0 =
mgd
J (Oz)
. Il s’agit de la même équation
que celle que l’on a obtenue lors de l’étude du pendule simple.
Les positions d’équilibre θ eq 1 = 0 et θ eq 2 = π permettent au moment du poids par rapport à
(Oz) d’être égal à 0. Dans ces positions, la somme des moments des forces qui s’appliquent
au pendule est nulle. On remarque que dans ce cas, le centre de gravité est sur une droite
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