Exercices
CHAPITRE 2 – PROPAGATION D’UN SIGNAL
2. Une onde sinusoïdale se propage dans la direction de l’axe (Ox) dans le sens positif avec la
célérité c. L’expression du signal de l’onde au point d’abscisse x 1 est s 1 (x 1 ,t)) = A cos(ωt).
Déterminer l’expression de s 1 (x,t). Représenter s 1 (x, 0) en fonction de x.
3. Une onde sinusoïdale se propage dans la direction de l’axe (Ox) dans le sens négatif avec
la célérité c. On donne : s 2 (0,t) = A sin(ωt). Déterminer l’expression de s 2 (x,t). Représenter
graphiquement s 2
λ
4
,t
et s 2
λ
2
,t
en fonction de t.
2.6 Trains d’ondes ()
Une onde se propage dans la direction de l’axe (Ox), dans le sens positif avec la célérité c. La
source, située en x = 0, émet un train d’ondes, c’est-à-dire une oscillation de durée limitée τ :
s(0,t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
s it < 0
sin
2π
t
T
si 0 ≤ t < τ
0
s it ≥ τ
1. Exprimer s(x,t) pour x positif quelconque.
2. Représenter s
x,
τ
2
et s
x,
3τ
2
en fonction de x pour x > 0 (prendre τ = 4T pour le
dessin). Quelle est la longueur du train d’ondes dans l’espace ?
3. On suppose à présent que :
s(0,t) =
⎧
⎨
⎩
0
s i t < 0
exp
−
t
τ
sin
2π
t
T
si t ≥ 0
avec τ = T . En s’aidant d’une calculette graphique représenter s(0,t) en fonction de t, puis
s(x, 6τ) en fonction de x. On considère habituellement que ce train d’ondes dure 6τ. Justifier
et donner la longueur du train d’ondes.
2.7 Propagation d’un signal périodique ()
Une onde se propage dans le sens positif de (Ox) à la célérité c. En x = 0 son signal est
périodique de fréquence f S et s’écrit : s(0,t) = f (t) =
∞
∑
n=1
A n cos(2πn f S t + ϕ n ).
1. Quelle est la longueur d’onde associée au fondamental du signal f (t) ? À son harmonique
de rang n ? Quelle est la période spatiale de l’onde ?
2. Montrer que le signal reçu en x 0 s’écrit : s(x 0 ,t) =
∞
∑
n=1
A
n cos(2πn f S t + ϕ
n ) et exprimer les
A
n et ϕ
n en fonction de x 0 .
2.8 Onde longitudinale sur un ressort ()
L’onde de compression-dilatation le long d’un ressort est une onde longitudinale analogue
à une onde sonore. Lors du passage de cette onde chaque spire bouge dans la direction de
l’axe (Ox), axe parallèle au ressort. Un signal associé à l’onde est le déplacement s(x,t) de la
68
CHAPITRE 2 – PROPAGATION D’UN SIGNAL
2. Une onde sinusoïdale se propage dans la direction de l’axe (Ox) dans le sens positif avec la
célérité c. L’expression du signal de l’onde au point d’abscisse x 1 est s 1 (x 1 ,t)) = A cos(ωt).
Déterminer l’expression de s 1 (x,t). Représenter s 1 (x, 0) en fonction de x.
3. Une onde sinusoïdale se propage dans la direction de l’axe (Ox) dans le sens négatif avec
la célérité c. On donne : s 2 (0,t) = A sin(ωt). Déterminer l’expression de s 2 (x,t). Représenter
graphiquement s 2
λ
4
,t
et s 2
λ
2
,t
en fonction de t.
2.6 Trains d’ondes ()
Une onde se propage dans la direction de l’axe (Ox), dans le sens positif avec la célérité c. La
source, située en x = 0, émet un train d’ondes, c’est-à-dire une oscillation de durée limitée τ :
s(0,t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
s it < 0
sin
2π
t
T
si 0 ≤ t < τ
0
s it ≥ τ
1. Exprimer s(x,t) pour x positif quelconque.
2. Représenter s
x,
τ
2
et s
x,
3τ
2
en fonction de x pour x > 0 (prendre τ = 4T pour le
dessin). Quelle est la longueur du train d’ondes dans l’espace ?
3. On suppose à présent que :
s(0,t) =
⎧
⎨
⎩
0
s i t < 0
exp
−
t
τ
sin
2π
t
T
si t ≥ 0
avec τ = T . En s’aidant d’une calculette graphique représenter s(0,t) en fonction de t, puis
s(x, 6τ) en fonction de x. On considère habituellement que ce train d’ondes dure 6τ. Justifier
et donner la longueur du train d’ondes.
2.7 Propagation d’un signal périodique ()
Une onde se propage dans le sens positif de (Ox) à la célérité c. En x = 0 son signal est
périodique de fréquence f S et s’écrit : s(0,t) = f (t) =
∞
∑
n=1
A n cos(2πn f S t + ϕ n ).
1. Quelle est la longueur d’onde associée au fondamental du signal f (t) ? À son harmonique
de rang n ? Quelle est la période spatiale de l’onde ?
2. Montrer que le signal reçu en x 0 s’écrit : s(x 0 ,t) =
∞
∑
n=1
A
n cos(2πn f S t + ϕ
n ) et exprimer les
A
n et ϕ
n en fonction de x 0 .
2.8 Onde longitudinale sur un ressort ()
L’onde de compression-dilatation le long d’un ressort est une onde longitudinale analogue
à une onde sonore. Lors du passage de cette onde chaque spire bouge dans la direction de
l’axe (Ox), axe parallèle au ressort. Un signal associé à l’onde est le déplacement s(x,t) de la
68