CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
alors
d − → p
dt
à l’aide du principe fondamental de la dynamique :
d − → p
dt
= ∑
i
− →
f i pour obtenir :
d
− →
L O
dt
=
− − →
OM ∧
d − → p
dt
=
− − →
OM ∧ ∑
i
− →
f i = ∑
i
− − →
OM ∧
−
→
f i = ∑
i
− − →
M O
− →
f i
.
5.2 Cas de conservation du moment cinétique
Cette loi est particulièrement intéressante lorsque la somme des moments des forces
− →
f i par
rapport à O s’annule. Cela correspond à ∑
i
− − →
OM ∧
− →
f i =
− − →
OM ∧ ∑
i
− →
f i =
− →
0 . En pratique, cette
situation n’arrive que dans deux cas :
• celui où ∑
i
− →
f i =
− →
0 à tout instant. Le point M est alors isolé ou pseudo-isolé. Il est en
mouvement rectiligne et uniforme ou immobile ;
• celui où ∑
i
− →
f i
− − →
OM à tout instant. La droite d’action de la résultante des forces passe alors
constamment par O. M est soumis à une force centrale de centre O. Ce type de force fait
l’objet du chapitre Mouvement dans un champ de force centrale. Champs newtoniens.
5.3 Loi du moment cinétique par rapport à un axe fixe
La dérivée temporelle du moment cinétique de M par rapport à l’axe orienté fixe (Oz)
est égale à la somme des moments des forces calculés par rapport à ce même axe :
dL (Oz)
dt
= ∑
i
M (Oz)
− →
f i
.
(19.6)
On démontre cette loi en remarquant que :
dL (Oz)
dt
=
d
− →
L O · −
→ u z
dt
=
d
− →
L O
dt
· −
→ u z .
En effet, l’axe (Oz) étant fixe, le vecteur − → u z est constant. On exprime alors
d
− →
L O
dt
grâce à la
relation (19.5) :
dL (Oz)
dt
=
d
− →
L O
dt
· −
→ u z = ∑
i
− − →
M O
− →
f i
· −
→ u z = ∑
i
M (Oz)
− →
f i
.
Remarque
La loi (19.6) est une loi scalaire qui ne fournit qu’une seule équation. Utilisée seule,
elle ne permet de résoudre que les problèmes à un degré de liberté. En pratique, le
mouvement du point M est presque obligatoirement circulaire. Pour les problèmes à
deux degrés de liberté, elle doit être complétée par une autre équation mécanique indépendante comme la loi de l’énergie cinétique.
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