LOI DU MOMENT CINÉTIQUE POUR UN POINT MATÉRIEL
M Δ
− →
f
= 0 =⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− →
f − → u Δ
ou
la droite d’action de
− →
f coupe Δ.
En effet, dans le premier cas, le moment en O de
− →
f est perpendiculaire à
− →
f donc à − → u Δ et sa
projection sur Δ est donc nulle. Dans le deuxième cas, le bras de levier est nul.
Remarque
En coordonnées cylindriques d’axe (Oz) = Δ, l’équation (19.4) permet également de
démontrer le premier cas puisque
− →
f −
→ u z donc f θ = 0.
5 Loi du moment cinétique pour un point matériel
On étudie le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel galiléen R.
Le point M est soumis à un ensemble de forces
− →
f i . On note O un point fixe et Δ une droite
orientée fixe contenant O. On choisit l’axe (Oz) de telle sorte que Δ = (Oz). À l’instant t,
on note
− − →
OM, − → v et − → p = m − → v les vecteurs position, vitesse et quantité de mouvement de M
dans R. On note également
− →
L O le moment cinétique de M par rapport à O, L (Oz) son moment
cinétique par rapport à Δ = (Oz),
− − →
M O
− →
f i
le moment de la force
− →
f i par rapport à O et
M (Oz)
− →
f i
son moment par rapport à Δ = (Oz).
5.1 Loi du moment cinétique par rapport à un point fixe
La dérivée temporelle du moment cinétique de M par rapport à O est égale à la somme
des moments des forces calculés par rapport au même point O :
d
− →
L O
dt
= ∑
i
− − →
M O
− →
f i
.
(19.5)
On démontre cette loi en remarquant que :
d
− →
L O
dt
=
d
− − →
OM ∧ −
→ p
dt
=
− − →
OM ∧
d − → p
dt
+
d
− − →
OM
dt
∧ −
→ p
=
− − →
OM ∧
d − → p
dt
.
En effet, le point O étant fixe,
d
− − →
OM
dt
= − → v donc
d
− − →
OM
dt
∧ − → p = − → v ∧ (m − → v ) =
− →
0 . On exprime
695
M Δ
− →
f
= 0 =⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− →
f − → u Δ
ou
la droite d’action de
− →
f coupe Δ.
En effet, dans le premier cas, le moment en O de
− →
f est perpendiculaire à
− →
f donc à − → u Δ et sa
projection sur Δ est donc nulle. Dans le deuxième cas, le bras de levier est nul.
Remarque
En coordonnées cylindriques d’axe (Oz) = Δ, l’équation (19.4) permet également de
démontrer le premier cas puisque
− →
f −
→ u z donc f θ = 0.
5 Loi du moment cinétique pour un point matériel
On étudie le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel galiléen R.
Le point M est soumis à un ensemble de forces
− →
f i . On note O un point fixe et Δ une droite
orientée fixe contenant O. On choisit l’axe (Oz) de telle sorte que Δ = (Oz). À l’instant t,
on note
− − →
OM, − → v et − → p = m − → v les vecteurs position, vitesse et quantité de mouvement de M
dans R. On note également
− →
L O le moment cinétique de M par rapport à O, L (Oz) son moment
cinétique par rapport à Δ = (Oz),
− − →
M O
− →
f i
le moment de la force
− →
f i par rapport à O et
M (Oz)
− →
f i
son moment par rapport à Δ = (Oz).
5.1 Loi du moment cinétique par rapport à un point fixe
La dérivée temporelle du moment cinétique de M par rapport à O est égale à la somme
des moments des forces calculés par rapport au même point O :
d
− →
L O
dt
= ∑
i
− − →
M O
− →
f i
.
(19.5)
On démontre cette loi en remarquant que :
d
− →
L O
dt
=
d
− − →
OM ∧ −
→ p
dt
=
− − →
OM ∧
d − → p
dt
+
d
− − →
OM
dt
∧ −
→ p
=
− − →
OM ∧
d − → p
dt
.
En effet, le point O étant fixe,
d
− − →
OM
dt
= − → v donc
d
− − →
OM
dt
∧ − → p = − → v ∧ (m − → v ) =
− →
0 . On exprime
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