CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
Exemple
On peut modéliser la jante d’une roue de voiture par un cylindre creux de masse m et de
rayon R. Son moment d’inertie par rapport au moyeu est donc environ égal à mR 2 .
d) Évolution du moment d’inertie en fonction de la répartition des masses (MPSI)
La contribution d’une masse m au moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe (Oz) est
égale à mr 2 où r est sa distance à l’axe (Oz).
Plus une masse m est éloignée de l’axe de rotation (Oz), plus sa contribution au moment
d’inertie par rapport à (Oz) est importante.
Ceci explique pourquoi le moment d’inertie d’un cylindre plein est inférieur à celui d’un
cylindre creux de même masse : une partie importante de sa masse est située à faible distance
de l’axe et contribue peu à son moment d’inertie.
La mesure du moment d’inertie d’un solide permet également d’obtenir des informations sur
la répartition interne des masses.
Exemple
Les mesures astronomiques du moment d’inertie de la Terre par rapport à son axe NordSud montrent qu’il vaut 0, 33M T R 2
T où M T et R T sont la masse et le rayon de la Terre.
Il est inférieur à celui d’une boule homogène de même masse et même rayon qui vaut
0, 4M T R 2
T . On en déduit que la répartition des masses à l’intérieur de la Terre n’est pas
homogène et que la couche profonde située près de son axe de rotation est plus dense
que les couches superficielles. Cette couche profonde est le noyau. Connaissant sa taille,
on peut estimer sa densité. Elle correspond à celle du fer à haute pression. C’est un des
principaux arguments prouvant que le noyau est essentiellement composé de fer.
4 Moment d’une force
On considère maintenant une force
− →
f qui s’applique en un point M.
4.1 Moment d’une force par rapport à un point O
Le moment en O de la force
− →
f s’appliquant en M est le vecteur défini par le produit
vectoriel :
− − →
M O
− →
f
=
− − →
OM ∧
−
→
f .
Sa norme se mesure en joule J = N·m.
Le moment des forces par rapport à un point est une grandeur additive : si on considère deux
forces
− →
f 1 et
− →
f 2 qui s’appliquent sur M :
− − →
M O (
− →
f 1 +
−
→
f 2 ) =
− − →
OM ∧ (
− →
f 1 +
−
→
f 2 ) =
− − →
OM ∧
−
→
f 1 +
− − →
OM ∧
−
→
f 2 =
− − →
M O (
− →
f 1 ) +
− − →
M O (
− →
f 2 ),
Le moment de la somme des forces est la somme des moments.
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Exemple
On peut modéliser la jante d’une roue de voiture par un cylindre creux de masse m et de
rayon R. Son moment d’inertie par rapport au moyeu est donc environ égal à mR 2 .
d) Évolution du moment d’inertie en fonction de la répartition des masses (MPSI)
La contribution d’une masse m au moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe (Oz) est
égale à mr 2 où r est sa distance à l’axe (Oz).
Plus une masse m est éloignée de l’axe de rotation (Oz), plus sa contribution au moment
d’inertie par rapport à (Oz) est importante.
Ceci explique pourquoi le moment d’inertie d’un cylindre plein est inférieur à celui d’un
cylindre creux de même masse : une partie importante de sa masse est située à faible distance
de l’axe et contribue peu à son moment d’inertie.
La mesure du moment d’inertie d’un solide permet également d’obtenir des informations sur
la répartition interne des masses.
Exemple
Les mesures astronomiques du moment d’inertie de la Terre par rapport à son axe NordSud montrent qu’il vaut 0, 33M T R 2
T où M T et R T sont la masse et le rayon de la Terre.
Il est inférieur à celui d’une boule homogène de même masse et même rayon qui vaut
0, 4M T R 2
T . On en déduit que la répartition des masses à l’intérieur de la Terre n’est pas
homogène et que la couche profonde située près de son axe de rotation est plus dense
que les couches superficielles. Cette couche profonde est le noyau. Connaissant sa taille,
on peut estimer sa densité. Elle correspond à celle du fer à haute pression. C’est un des
principaux arguments prouvant que le noyau est essentiellement composé de fer.
4 Moment d’une force
On considère maintenant une force
− →
f qui s’applique en un point M.
4.1 Moment d’une force par rapport à un point O
Le moment en O de la force
− →
f s’appliquant en M est le vecteur défini par le produit
vectoriel :
− − →
M O
− →
f
=
− − →
OM ∧
−
→
f .
Sa norme se mesure en joule J = N·m.
Le moment des forces par rapport à un point est une grandeur additive : si on considère deux
forces
− →
f 1 et
− →
f 2 qui s’appliquent sur M :
− − →
M O (
− →
f 1 +
−
→
f 2 ) =
− − →
OM ∧ (
− →
f 1 +
−
→
f 2 ) =
− − →
OM ∧
−
→
f 1 +
− − →
OM ∧
−
→
f 2 =
− − →
M O (
− →
f 1 ) +
− − →
M O (
− →
f 2 ),
Le moment de la somme des forces est la somme des moments.
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