CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
rapport à (Oz) et ˙
θ i sa vitesse angulaire :
L (Oz) = ∑
i
L (Oz) (M i ) = ∑
i
J (Oz) (M i ) ˙
θ i .
(19.3)
Exemple
On considère le cas où deux points M 1 et M 2 de même masse m sont en rotation circulaire et uniforme de centre O et de rayon R dans le plan (Oxy). Le moment d’inertie de
chacun des points vaut alors J (Oz) = mR 2 . On envisage deux cas :
• le cas où les points M 1 et M 2 ont la même vitesse angulaire ˙
θ . Le moment cinétique
par rapport à (Oz) de chacun des points vaut alors L (Oz) (M i ) = mR
2 ˙
θ . Celui du système vaut donc L (Oz) = 2mR 2 ˙
θ ;
• le cas où ils ont des vitesses angulaires opposées et L (Oz) (M 1 ) = −L (Oz) (M 2 ). Le
moment cinétique du système par rapport à (Oz) vaut donc L (Oz) = 0.
x
x
y
y
z
z
O
O
r
r
M 1
M 1
M 2
M 2
− →
L O
− →
L O (M 1 )
− →
L O (M 1 )
− →
L O (M 2 )
− →
L O (M 2 )
− → v 1
− → v 1
− → v 2
− → v 2
Figure 19.4 – Moment cinétique en O d’un système de deux points en révolution
circulaire de centre O.
3.2 Cas d’un solide en rotation par rapport à un axe
On considère un solide en rotation à la vitesse angulaire ˙
θ autour d’un axe orienté fixe dans
un référentiel R. On choisit l’axe (Oz) pour qu’il coïncide avec cet axe de rotation. On modélise le solide par un ensemble de points matériels M i de masse m i repérés en coordonnées
cylindriques d’axe (Oz) : M i (r i , θ i , z i ).
a) Moment d’inertie d’un solide
On rappelle une relation essentielle du chapitre de cinématique du solide : chaque point d’un
solide en rotation autour d’un axe fixe possède la même vitesse angulaire. Le mouvement
du solide est alors un cas particulier du mouvement d’un système de points dans lequel la
vitesse angulaire de chacun des points du système est la même. On peut donc factoriser
l’expression (19.3) par la vitesse angulaire commune ˙
θ :
L (Oz) = ∑
i
L (Oz) (M i ) =
∑
i
J (Oz) (M i )
˙
θ = J (Oz) ˙
θ .
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