MOMENT CINÉTIQUE D’UN SOLIDE OU D’UN SYSTÈME DE POINTS
− →
L O = m
− − →
OM ∧ −
→ v = m(r − → u r + z − → u z ) ∧ (˙ r − → u r + r ˙
θ − →
u θ + ˙
z − → u z )
= m
r
2 ˙
θ −
→ u z + (˙ rz − r˙ z) − →
u θ − zr ˙
θ −
→ u r
,
soit :
L (Oz) = mr
2 ˙
θ .
En coordonnées cylindriques d’axe (Oz), on définit le moment d’inertie d’un point M
de coordonnées (r, θ , z) par rapport à l’axe (Oz) :
J (Oz) (M) = mr
2
.
Le moment cinétique de M par rapport à (Oz) est alors égal au produit du moment
d’inertie J (Oz) (M) par la vitesse angulaire ˙
θ :
L (Oz) = J (Oz) (M) ˙
θ .
(19.2)
3 Moment cinétique d’un solide ou d’un système de points
Dans le chapitre de Cinématique du solide, on a décrit deux grands types de mouvements de
solides : les mouvements de translation et les mouvements de rotation autour d’un axe fixe.
Les mouvements de translation s’étudient à l’aide du principe fondamental de la dynamique.
L’étude des mouvements de rotation autour d’un axe fixe utilise le moment cinétique par
rapport à l’axe de rotation fixe Δ. C’est pourquoi, dans ce paragraphe, on se restreint au
moment cinétique L Δ d’un solide ou d’un système de points par rapport à un axe orienté Δ.
3.1 Cas d’un système déformable
a) Moment cinétique par rapport à un axe orienté
On considère un système constitué de plusieurs points matériels M i de masses m i de moments
cinétiques par rapport à l’axe orienté Δ : L Δ (M i ). Le moment cinétique du système de points
est obtenu par sommation des moments cinétiques de chacun des points :
L Δ = ∑
i
L Δ (M i ).
Les moments cinétiques par rapport à Δ étant algébriques, il faut être rigoureux sur les signes.
b) Cas des coordonnées cylindriques
Lorsque l’axe Δ est fixe, on utilise généralement les coordonnées cylindriques d’axe (Oz)
confondu avec Δ. Le moment cinétique de chaque point M i est donné par la relation (19.2) :
L (Oz) (M i ) = m i r 2
i
˙
θ = J (Oz) (M i ) ˙
θ i où J (Oz) (M i ) = m i r 2
i est le moment d’inertie du point M i par
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