CHAPITRE 19 – MOMENT CINÉTIQUE ET SOLIDE EN ROTATION
cercle, et d’angle polaire θ . On utilise alors les relations établies dans le chapitre Cinématique
du point :
− − →
OM = R − → u r
et
− → v = R ˙
θ − →
u θ .
On considère Δ = (O, − → u z ) et on calcule
− →
L O et L Δ = L (Oz) :
− →
L O = m
− − →
OM ∧ −
→ v = m(R − → u r ) ∧ (R ˙
θ − →
u θ ) = mR 2 ˙
θ −
→ u z
et
L (Oz) (M) =
− →
L O · −
→ u z = mR
2 ˙
θ .
On peut trouver la direction de
− →
L O à l’aide de la « règle de
la main droite » représentée sur la figure 19.2. Ainsi :
• lorsque la révolution du point M se fait dans le sens direct autour de − → u z , ˙
θ > 0 et
− →
L O est selon + − → u z ;
• lorsque la révolution du point M se fait dans le sens indirect autour de − → u z , ˙
θ < 0 et
− →
L O est selon − − → u z .
− − →
OM
− → v
− →
L O
Figure 19.2 –
Règle de la main
droite.
Le signe de L (Oz) (M) permet donc de déterminer le sens de la révolution circulaire de M :
• si L (Oz) (M) > 0, la révolution se fait dans le sens direct dans le plan orienté par − → u z ;
• si L (Oz) (M) < 0, la révolution se fait dans le sens indirect dans le plan orienté par − → u z .
x
x
y
y
z
z
O
O
θ
θ
r
r
M
M
− →
L O
− →
L O
− → v
− → v
Figure 19.3 – Moment cinétique en O d’un mobile en révolution circulaire de centre O.
Remarque
La définition du moment cinétique en O implique que la trajectoire de M « s’enroule »
dans le sens direct autour de la droite orientée (O,
− →
L O ).
d) Notion de moment d’inertie
Plus généralement, lorsque l’axe Δ est fixe, on peut le faire coïncider avec l’axe (Oz) et repérer M à l’aide de ses coordonnées cylindriques :
− − →
OM = r − → u r + z − → u z et − → v = ˙
r − → u r + r ˙
θ − →
u θ + ˙
z − → u z .
On peut alors calculer L (Oz) =
− →
L O · − → u z qui correspond à la composante selon − → u z du moment
cinétique de M par rapport à O :
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