MOMENT CINÉTIQUE D’UN POINT MATÉRIEL
Propriétés du moment cinétique par rapport à un point De par sa définition à partir d’un
produit vectoriel,
− →
L O est perpendiculaire aux vecteurs
− − →
OM et − → v . En conséquence :
• si le mouvement de M est plan et que O appartient au plan du mouvement, le vecteur
− →
L O
est perpendiculaire à ce plan à tout instant. Sa direction est donc fixe et perpendiculaire au
plan du mouvement. La réciproque est vraie.
• si le mouvement de M est rectiligne et inscrit sur une droite D passant par O,
− →
L O est nul à
tout instant puisque les vecteurs
− − →
OM et − → v sont colinéaires à tout instant. La réciproque est
vraie.
Il faut également noter que le moment cinétique dépend du point par rapport auquel on le
calcule et que l’on indique en indice. En effet,
− →
L B =
−→
BM ∧ −
→ p =
− →
BA +
− →
AM
∧ −
→ p =
− →
BA ∧ −
→ p +
− →
AM ∧ −
→ p ,
que l’on peut écrire :
− →
L B =
− →
L A +
− →
BA ∧ −
→ p .
(19.1)
b) Moment cinétique par rapport à un axe orienté Δ
Le moment cinétique de M par rapport à l’axe orienté Δ = (O, − → u Δ ) est la projection
orthogonale de
− →
L O sur l’axe Δ :
L Δ =
− →
L O · −
→ u Δ = m(
− − →
OM ∧ −
→ v ) · −
→ u Δ .
Comme le moment cinétique par rapport à un point, le moment cinétique par rapport à un
axe dépend du référentiel d’étude et se mesure en J·s. Par contre, il ne dépend pas du choix
du point O appartenant à l’axe Δ utilisé pour le calculer mais seulement de la direction et de
l’orientation de Δ.
En effet, si l’on considère deux points A et B appartenant à l’axe Δ, le produit scalaire de la
relation (19.1) par − → u Δ donne :
− →
L B · − → u Δ =
− →
L A · − → u Δ +
− →
BA ∧ −
→ p
· − → u Δ .
Or A et B appartiennent à Δ donc
− →
AB est colinéaire à − →
u Δ et
− →
BA ∧ − → p est perpendiculaire à − →
u Δ .
Le terme
− →
BA ∧ −
→ p
· − → u Δ s’annule et finalement :
− →
L B · − → u Δ =
− →
L A · − → u Δ ,
ce qui prouve que le point de l’axe choisi pour calculer L Δ n’a pas d’importance.
c) Cas où le point matériel est en mouvement circulaire
Lorsque M est en mouvement circulaire sur un cercle de centre O et de rayon R. On a intérêt
à le repérer en coordonnées cylindriques de centre O, d’axe (Oz) perpendiculaire au plan du
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Propriétés du moment cinétique par rapport à un point De par sa définition à partir d’un
produit vectoriel,
− →
L O est perpendiculaire aux vecteurs
− − →
OM et − → v . En conséquence :
• si le mouvement de M est plan et que O appartient au plan du mouvement, le vecteur
− →
L O
est perpendiculaire à ce plan à tout instant. Sa direction est donc fixe et perpendiculaire au
plan du mouvement. La réciproque est vraie.
• si le mouvement de M est rectiligne et inscrit sur une droite D passant par O,
− →
L O est nul à
tout instant puisque les vecteurs
− − →
OM et − → v sont colinéaires à tout instant. La réciproque est
vraie.
Il faut également noter que le moment cinétique dépend du point par rapport auquel on le
calcule et que l’on indique en indice. En effet,
− →
L B =
−→
BM ∧ −
→ p =
− →
BA +
− →
AM
∧ −
→ p =
− →
BA ∧ −
→ p +
− →
AM ∧ −
→ p ,
que l’on peut écrire :
− →
L B =
− →
L A +
− →
BA ∧ −
→ p .
(19.1)
b) Moment cinétique par rapport à un axe orienté Δ
Le moment cinétique de M par rapport à l’axe orienté Δ = (O, − → u Δ ) est la projection
orthogonale de
− →
L O sur l’axe Δ :
L Δ =
− →
L O · −
→ u Δ = m(
− − →
OM ∧ −
→ v ) · −
→ u Δ .
Comme le moment cinétique par rapport à un point, le moment cinétique par rapport à un
axe dépend du référentiel d’étude et se mesure en J·s. Par contre, il ne dépend pas du choix
du point O appartenant à l’axe Δ utilisé pour le calculer mais seulement de la direction et de
l’orientation de Δ.
En effet, si l’on considère deux points A et B appartenant à l’axe Δ, le produit scalaire de la
relation (19.1) par − → u Δ donne :
− →
L B · − → u Δ =
− →
L A · − → u Δ +
− →
BA ∧ −
→ p
· − → u Δ .
Or A et B appartiennent à Δ donc
− →
AB est colinéaire à − →
u Δ et
− →
BA ∧ − → p est perpendiculaire à − →
u Δ .
Le terme
− →
BA ∧ −
→ p
· − → u Δ s’annule et finalement :
− →
L B · − → u Δ =
− →
L A · − → u Δ ,
ce qui prouve que le point de l’axe choisi pour calculer L Δ n’a pas d’importance.
c) Cas où le point matériel est en mouvement circulaire
Lorsque M est en mouvement circulaire sur un cercle de centre O et de rayon R. On a intérêt
à le repérer en coordonnées cylindriques de centre O, d’axe (Oz) perpendiculaire au plan du
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