Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 18 – MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP
3. La pulsation cyclotron vaut : ω c =
|q|B
m
. La pulsation du mouvement de l’électron est
donc plus grande que celle du proton. Comme la pulsation est inversement proportionnelle à
la période, la période de l’électron est plus petite que celle du proton : T e < T p .
18.4 Questions sur les particules dans champs
− →
E et
− →
B
On étudie la particule M de masse m et de charge q assimilée à un point matériel dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen. Cette particule est soumise à la force de Lorentz
− →
f = q
− →
E + −
→ v ∧
−
→
B
.
1. La trajectoire est rectiligne et uniformément accélérée.
a. L’accélération − → a est constante, soit :
d − → v
dt
= − → a =
− →
cte ⇒ − → v = − → a t + −
→ v 0 .
La norme de − → v varie donc l’énergie cinétique aussi. Or seule la force électrique travaille (la
force magnétique q( − → v ∧
− →
B ) est perpendiculaire à − → v donc à la trajectoire), le champ est un
champ électrique.
Pour que la trajectoire soit rectiligne, il faut, d’après l’expression de − → v que − → a soit colinéaire
à − → v 0 . Or − → a =
q
m
− →
E , donc
− →
E est colinéaire à v 0 .
b. On note O le centre du repère. On intègre l’expression de la vitesse pour avoir la position
− − →
OM de la particule :
− − →
OM =
q
2m
t
2 − →
E + t − → v 0 +
− −→
OM 0 ,
M 0 étant la position initiale du point.
2. La trajectoire est circulaire dans le plan (Oxy).
a. La trajectoire circulaire est celle d’une charge dans un champ magnétique perpendiculaire à la vitesse initiale. On en déduit que
− →
B est suivant Oz et que − → v 0 est dans le plan
xOy.
b. La trajectoire étant circulaire, la vitesse en coordonnées polaires a pour expression − → v =
R 0 ˙
θ − →
u θ , et l’accélération se réduit à − → a = −R 0 ˙
θ 2− → u r + R 0 ¨
θ − →
u θ . La relation fondamentale de la
dynamique donne :
m − → a = q − → v ∧
−
→
B ,
Or
− →
B = B − → u z et donc q − → v ∧
−
→
B = qR 0 ˙
θ B − → u r puis, en projetant sur la base ( − → u r , − →
u θ ) :
−mR 0 ˙
θ
2
= qR 0 ˙
θ B
R 0 ¨
θ
= 0.
On obtient alors ˙
θ = −
qB
m
= constante. Si la charge est positive elle tourne dans le sens
rétrograde (horaire) par rapport à Oz. Puisque ˙
θ est constante, le mouvement et circulaire
uniforme et v 0 = R 0 | ˙
θ | d’où R 0 =
mv 0
qB
.
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CHAPITRE 18 – MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP
3. La pulsation cyclotron vaut : ω c =
|q|B
m
. La pulsation du mouvement de l’électron est
donc plus grande que celle du proton. Comme la pulsation est inversement proportionnelle à
la période, la période de l’électron est plus petite que celle du proton : T e < T p .
18.4 Questions sur les particules dans champs
− →
E et
− →
B
On étudie la particule M de masse m et de charge q assimilée à un point matériel dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen. Cette particule est soumise à la force de Lorentz
− →
f = q
− →
E + −
→ v ∧
−
→
B
.
1. La trajectoire est rectiligne et uniformément accélérée.
a. L’accélération − → a est constante, soit :
d − → v
dt
= − → a =
− →
cte ⇒ − → v = − → a t + −
→ v 0 .
La norme de − → v varie donc l’énergie cinétique aussi. Or seule la force électrique travaille (la
force magnétique q( − → v ∧
− →
B ) est perpendiculaire à − → v donc à la trajectoire), le champ est un
champ électrique.
Pour que la trajectoire soit rectiligne, il faut, d’après l’expression de − → v que − → a soit colinéaire
à − → v 0 . Or − → a =
q
m
− →
E , donc
− →
E est colinéaire à v 0 .
b. On note O le centre du repère. On intègre l’expression de la vitesse pour avoir la position
− − →
OM de la particule :
− − →
OM =
q
2m
t
2 − →
E + t − → v 0 +
− −→
OM 0 ,
M 0 étant la position initiale du point.
2. La trajectoire est circulaire dans le plan (Oxy).
a. La trajectoire circulaire est celle d’une charge dans un champ magnétique perpendiculaire à la vitesse initiale. On en déduit que
− →
B est suivant Oz et que − → v 0 est dans le plan
xOy.
b. La trajectoire étant circulaire, la vitesse en coordonnées polaires a pour expression − → v =
R 0 ˙
θ − →
u θ , et l’accélération se réduit à − → a = −R 0 ˙
θ 2− → u r + R 0 ¨
θ − →
u θ . La relation fondamentale de la
dynamique donne :
m − → a = q − → v ∧
−
→
B ,
Or
− →
B = B − → u z et donc q − → v ∧
−
→
B = qR 0 ˙
θ B − → u r puis, en projetant sur la base ( − → u r , − →
u θ ) :
−mR 0 ˙
θ
2
= qR 0 ˙
θ B
R 0 ¨
θ
= 0.
On obtient alors ˙
θ = −
qB
m
= constante. Si la charge est positive elle tourne dans le sens
rétrograde (horaire) par rapport à Oz. Puisque ˙
θ est constante, le mouvement et circulaire
uniforme et v 0 = R 0 | ˙
θ | d’où R 0 =
mv 0
qB
.
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