MOUVEMENT DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE
À ce niveau, le sens de la rotation n’est pas déterminé, ce qui explique la notation − → v = ±v 0
− →
u θ .
L’accélération est dirigée selon − − → u r (elle est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire).
La force magnétique étant la seule force, elle est nécessairement parallèle et de même sens
que l’accélération d’après le principe fondamental de la dynamique. Cela permet de raisonner
sur les normes. Les vecteurs q − → v et
−
→
B sont perpendiculaires entre eux et de norme respectives
|q| v 0 et B, donc q − → v ∧
− →
B = |q| v 0 B. Par ailleurs, la norme de l’accélération vaut
v 2
0
R
. Le
principe fondamental de la dynamique (18.4) conduit ensuite à :
m
v 2
0
R
= |q| v 0 B
⇐⇒
v 0 =
|q|B
m
R.
La dimension de
|q|B
m
est celle d’une pulsation car :
[Q × v × B] = [F] ⇒
Q × B
M
=
F
M × v
=
F
M × a × T
=
F
F × T
=
T
−1
.
On note alors ω c =
|q| B
m
cette pulsation qui se nomme pulsation cyclotron. La relation entre
le rayon et la vitesse v 0 devient alors :
v 0 = Rω c
⇐⇒
R =
v 0
ω c
.
Une particule de charge q et de vitesse initiale − → v 0 perpendiculaire à un champ magnétique uniforme
− →
B suit un mouvement circulaire et uniforme à la vitesse angulaire
ω c =
|q| B
m
appelée pulsation cyclotron. On trouve le rayon de la trajectoire grâce à la
relation v 0 = Rω c .
Remarque
Lorsque la vitesse initiale n’est pas perpendiculaire au champ magnétique, le mouvement est hélicoïdal, composé d’un mouvement rectiligne et uniforme dans la direction
de
− →
B et d’un mouvement circulaire et uniforme dans le plan perpendiculaire à
− →
B .
c) Position du centre de la trajectoire - Sens de parcours de la trajectoire
On peut tracer la trajectoire dans le cas d’une injection de particule en O avec la vitesse
− → v 0 . On oriente pour cela l’axe (Oy) selon − → v 0 . La droite (Oy) est alors une tangente à la
trajectoire. L’axe (Ox), perpendiculaire à (Oy), est donc un diamètre de la trajectoire. La force
magnétique est nécessairement dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire. Sa direction
au passage en O avec une vitesse − → v 0 permet donc de situer le centre O 1 de la trajectoire (voir
figure 18.5) :
− →
f O = q − → v 0 ∧
−
→
B = qv 0
− → u y ∧ B − → u z = qv 0 B − → u x .
On en déduit que :
• pour une charge positive,
− →
f O est dirigée selon + − → u x donc O 1 a une abscisse positive,
• pour une charge négative,
− →
f O est dirigée selon − − → u x donc O 1 a une abscisse négative.
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À ce niveau, le sens de la rotation n’est pas déterminé, ce qui explique la notation − → v = ±v 0
− →
u θ .
L’accélération est dirigée selon − − → u r (elle est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire).
La force magnétique étant la seule force, elle est nécessairement parallèle et de même sens
que l’accélération d’après le principe fondamental de la dynamique. Cela permet de raisonner
sur les normes. Les vecteurs q − → v et
−
→
B sont perpendiculaires entre eux et de norme respectives
|q| v 0 et B, donc q − → v ∧
− →
B = |q| v 0 B. Par ailleurs, la norme de l’accélération vaut
v 2
0
R
. Le
principe fondamental de la dynamique (18.4) conduit ensuite à :
m
v 2
0
R
= |q| v 0 B
⇐⇒
v 0 =
|q|B
m
R.
La dimension de
|q|B
m
est celle d’une pulsation car :
[Q × v × B] = [F] ⇒
Q × B
M
=
F
M × v
=
F
M × a × T
=
F
F × T
=
T
−1
.
On note alors ω c =
|q| B
m
cette pulsation qui se nomme pulsation cyclotron. La relation entre
le rayon et la vitesse v 0 devient alors :
v 0 = Rω c
⇐⇒
R =
v 0
ω c
.
Une particule de charge q et de vitesse initiale − → v 0 perpendiculaire à un champ magnétique uniforme
− →
B suit un mouvement circulaire et uniforme à la vitesse angulaire
ω c =
|q| B
m
appelée pulsation cyclotron. On trouve le rayon de la trajectoire grâce à la
relation v 0 = Rω c .
Remarque
Lorsque la vitesse initiale n’est pas perpendiculaire au champ magnétique, le mouvement est hélicoïdal, composé d’un mouvement rectiligne et uniforme dans la direction
de
− →
B et d’un mouvement circulaire et uniforme dans le plan perpendiculaire à
− →
B .
c) Position du centre de la trajectoire - Sens de parcours de la trajectoire
On peut tracer la trajectoire dans le cas d’une injection de particule en O avec la vitesse
− → v 0 . On oriente pour cela l’axe (Oy) selon − → v 0 . La droite (Oy) est alors une tangente à la
trajectoire. L’axe (Ox), perpendiculaire à (Oy), est donc un diamètre de la trajectoire. La force
magnétique est nécessairement dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire. Sa direction
au passage en O avec une vitesse − → v 0 permet donc de situer le centre O 1 de la trajectoire (voir
figure 18.5) :
− →
f O = q − → v 0 ∧
−
→
B = qv 0
− → u y ∧ B − → u z = qv 0 B − → u x .
On en déduit que :
• pour une charge positive,
− →
f O est dirigée selon + − → u x donc O 1 a une abscisse positive,
• pour une charge négative,
− →
f O est dirigée selon − − → u x donc O 1 a une abscisse négative.
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