CHAPITRE 18 – MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP
• la force électrique :
− →
f = q
− →
E ,
• son poids que l’on néglige.
On applique le principe fondamental de la dynamique qui s’écrit :
d(m − → v )
dt
= q
− →
E
⇐⇒
− → a =
q
− →
E
m
,
en notant − → a l’accélération de la particule. Ce type de mouvement, caractérisé par une accélération constante, a été étudié en détail lors du chapitre de cinématique du point.
2.2 Étude de la trajectoire
Comme le champ
− →
E est indépendant du temps, on peut
intégrer vectoriellement soit :
− → v =
q
− →
E
m
t + −
→ v 0 ,
et :
− − →
OM =
1
2
q
m
− →
E t
2
+ −
→ v 0 t,
(18.1)
en prenant comme origine O la position initiale de la
particule.
x
y
z
O
α
− → v 0
− →
E
Figure 18.2 –
Conditions initiales du
mouvement.
Le mouvement a lieu dans le plan défini par la position initiale, le champ électrique et le
vecteur vitesse initial. Ceci n’a rien de surprenant : la seule force qui s’exerce sur la particule
est dans ce plan. On remarque l’analogie avec le mouvement d’un point matériel dans le
champ de pesanteur : dans les deux cas, la force appliquée est constante et uniforme.
Pour aller plus loin dans l’analyse du mouvement, on se place en coordonnées cartésiennes.
On oriente l’axe (Ox) dans le sens du champ électrique de sorte que :
− →
E = E − → u x avec E > 0.
La vitesse initiale définit avec le champ électrique un plan que l’on prend comme plan (xOy)
et on note α l’angle que fait le vecteur vitesse avec le champ électrique dans ce plan (figure
18.2). L’axe (Oz) complète la base directe. La projection de l’équation (18.1) dans cette base,
conduit à :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x =
qE
2m
t 2 + v 0 t cos α
y = v 0 t sin α
z = 0.
(18.2)
La trajectoire s’obtient en éliminant le temps t dans les relations précédentes ; le plus simple
est d’obtenir t en fonction de y. On doit donc distinguer deux cas : le cas où α = 0 ou π et
le cas où α = 0, c’est-à-dire le cas où la vitesse initiale est parallèle au champ électrique et
celui où elle ne lui est pas parallèle.
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• la force électrique :
− →
f = q
− →
E ,
• son poids que l’on néglige.
On applique le principe fondamental de la dynamique qui s’écrit :
d(m − → v )
dt
= q
− →
E
⇐⇒
− → a =
q
− →
E
m
,
en notant − → a l’accélération de la particule. Ce type de mouvement, caractérisé par une accélération constante, a été étudié en détail lors du chapitre de cinématique du point.
2.2 Étude de la trajectoire
Comme le champ
− →
E est indépendant du temps, on peut
intégrer vectoriellement soit :
− → v =
q
− →
E
m
t + −
→ v 0 ,
et :
− − →
OM =
1
2
q
m
− →
E t
2
+ −
→ v 0 t,
(18.1)
en prenant comme origine O la position initiale de la
particule.
x
y
z
O
α
− → v 0
− →
E
Figure 18.2 –
Conditions initiales du
mouvement.
Le mouvement a lieu dans le plan défini par la position initiale, le champ électrique et le
vecteur vitesse initial. Ceci n’a rien de surprenant : la seule force qui s’exerce sur la particule
est dans ce plan. On remarque l’analogie avec le mouvement d’un point matériel dans le
champ de pesanteur : dans les deux cas, la force appliquée est constante et uniforme.
Pour aller plus loin dans l’analyse du mouvement, on se place en coordonnées cartésiennes.
On oriente l’axe (Ox) dans le sens du champ électrique de sorte que :
− →
E = E − → u x avec E > 0.
La vitesse initiale définit avec le champ électrique un plan que l’on prend comme plan (xOy)
et on note α l’angle que fait le vecteur vitesse avec le champ électrique dans ce plan (figure
18.2). L’axe (Oz) complète la base directe. La projection de l’équation (18.1) dans cette base,
conduit à :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x =
qE
2m
t 2 + v 0 t cos α
y = v 0 t sin α
z = 0.
(18.2)
La trajectoire s’obtient en éliminant le temps t dans les relations précédentes ; le plus simple
est d’obtenir t en fonction de y. On doit donc distinguer deux cas : le cas où α = 0 ou π et
le cas où α = 0, c’est-à-dire le cas où la vitesse initiale est parallèle au champ électrique et
celui où elle ne lui est pas parallèle.
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