Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
L’application numérique donne k 2 = 244 N.m
−1 . La pulsation propre est ω 0 =
k 2 /M ce
qui donne 0, 55 rad.s
−1 .
6. La relation fondamentale en projection sur Ox donne : ¨
x +
λ
M
˙
x + ω
2
0 x = ω
2
0 L 0 .
Le discriminant de l’équation caractéristique Δ =
λ
M
2
− 4ω
2
0 doit être nul pour le régime
critique d’où λ = 2Mω 0 . L’application numérique donne λ = 884 kg.s
−1 .
7. La solution de l’équation est alors :
x(t) = exp
−
λ t
2M
(At + B) + L 0 .
A t = 0, x = L 0 d’où B = 0. On calcule la vitesse : ˙
x = A exp
−
λ t
2M
1 −
λ
2M
t
.
Or à t = 0, ˙
x = v c d’où A = v c . Finalement on trouve :
x(t) = v c t exp
−
λ t
2M
+ L 0 = −
m
M
v 0 t exp
−
λ t
2M
+ L 0 .
Le recul est maximal lorsque la vitesse s’annule soit pour t m = 2M/λ = 1, 8 s. On peut alors
écrire la valeur de x à t m :
x(t m ) = −
m
M
v 0
2M
λ
e
−1
+ L 0 = −
2mv 0
λ e
+ L 0 = L 0 − d ⇒ d =
2mv 0
λ e
= 1 m.
On retrouve la valeur de d précédente.
17.8 Interaction entre atomes de gaz nobles
1. Etude de la courbe d’énergie potentielle.
a. Pour déterminer le minimum de la courbe d’énergie potentielle, on la dérive. Il est alors
profitable de poser u =
σ
r
et E ∗
p =
E p
ε
. On obtient alors : E
∗
p = 4
u
12
− u
6
. On remarque
alors que :
dE ∗
p
dr
=
dE ∗
p
du
du
dr
= −
σ
r 2
dE ∗
p
du
.
Comme
σ
r 2 est non nul, l’annulation de
dE ∗
p
dr
correspond donc à l’annulation de
dE ∗
p
du
qui est
beaucoup plus simple à calculer :
dE ∗
p
du
= 4
12u
11
− 6u
5
donc
dE ∗
p
du
= 0 ⇔ 2u
6
− 1 = 0 ou u = 0.
La solution u = 0 qui correspond à r → ∞ n’est pas la solution recherchée. Finalement :
1
u 6 = 2 ⇒ r min = 2
1
6 σ et E min = E p (r min ) = −ε.
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