Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
b. On utilise le calcul précédent en appliquant la relation liant la force à l’énergie potentielle :
− →
f = −
dE p
dr
−
→ u r = 4ε
σ
r 2
12u
11
− 6u
5
− → u r = 24
ε
σ
σ
r
7
2
σ
r
6 − 1
− → u r .
c. La force est dirigée vers le minimum d’énergie potentielle. Elle est donc répulsive (selon
+ − → u r ) à courte distance lorsque r < r min et attractive (selon − − → u r ) à grande distance lorsque
r > r min . Ce résultat de cours permet de vérifier le calcul ci-dessus. A longue distance, le
terme en
1
r 6 correspondant aux force de Van der Walls attractives dominent le terme répulsif
en
1
r 12 .
2. Etude de la température d’ébullition.
a. Pour qu’un atome puisse sortir du puits de potentiel, il faut que son énergie mécanique
soit supérieure au maximum d’énergie potentielle, soit ici 0. Si un atome possède une énergie
cinétique supérieure à la profondeur du puits de potentiel ε, alors il possède nécessairement
l’énergie mécanique lui permettant de sortir de ce puits. La température correspondante est
T 1 telle que :
σ =
3
2
k B T 1 soit T 1 =
2
3
σ
k B
.
b. A cette température, les atomes sont libres de s’éloigner indéfiniment les uns des autres
et d’occuper tout le volume dont ils disposent. Ils forment donc un gaz. On regroupe les
températures T 1 dans le tableau 17.2. On observe que la température T 1 et son évolution selon
la nature du gaz noble étudié est en bon accord avec les températures d’ébullition mesurées.
Le modèle explique correctement les données expérimentales.
3. Etude de la masse volumique.
a. En phase liquide, le modèle précise que les atomes sont piégés dans le puits de potentiel.
Leur mobilité est donc restreinte et, d’après la courbe 17.15, r est compris entre σ et environ
2σ . La distance inter-atomique est donc proche de r min .
Chaque atome occupe un volume de l’ordre de r 3
min . Le nombre d’atome par unité de volume
est donc n
∗
=
1
r 3
min
.
b. La masse volumique est égale au produit du nombre d’atome par unité de volume n ∗
par la masse m ∗ d’un atome avec m ∗ =
M
N a
. Pour l’application numérique, on n’oublie pas
que l’unité du système international pour la masse est le kg et on reporte les valeurs dans le
tableau 17.2. Là encore, l’accord entre modèle et expérience est satisfaisant mais on voit que
le modèle est incomplet car il s’éloigne des valeurs expérimentales pour l’hélium et le xénon.
4. Etude qualitative de l’évolution de cette masse volumique avec la température.
a. Sur diagramme de phase de la figure 17.15, on observe des trajectoires fermées correspondant à des mouvements périodiques dans un état lié. Lorsque l’énergie mécanique est
faible, les trajectoires de phases sont quasiment elliptiques au voisinage de r min puis, lorsque
l’énergie mécanique augmente, elles se déforment et s’allongent vers les r croissants. Lorsque
l’énergie mécanique est encore plus grande, les trajectoires de phases ne sont plus fermées.
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CORRIGÉS
b. On utilise le calcul précédent en appliquant la relation liant la force à l’énergie potentielle :
− →
f = −
dE p
dr
−
→ u r = 4ε
σ
r 2
12u
11
− 6u
5
− → u r = 24
ε
σ
σ
r
7
2
σ
r
6 − 1
− → u r .
c. La force est dirigée vers le minimum d’énergie potentielle. Elle est donc répulsive (selon
+ − → u r ) à courte distance lorsque r < r min et attractive (selon − − → u r ) à grande distance lorsque
r > r min . Ce résultat de cours permet de vérifier le calcul ci-dessus. A longue distance, le
terme en
1
r 6 correspondant aux force de Van der Walls attractives dominent le terme répulsif
en
1
r 12 .
2. Etude de la température d’ébullition.
a. Pour qu’un atome puisse sortir du puits de potentiel, il faut que son énergie mécanique
soit supérieure au maximum d’énergie potentielle, soit ici 0. Si un atome possède une énergie
cinétique supérieure à la profondeur du puits de potentiel ε, alors il possède nécessairement
l’énergie mécanique lui permettant de sortir de ce puits. La température correspondante est
T 1 telle que :
σ =
3
2
k B T 1 soit T 1 =
2
3
σ
k B
.
b. A cette température, les atomes sont libres de s’éloigner indéfiniment les uns des autres
et d’occuper tout le volume dont ils disposent. Ils forment donc un gaz. On regroupe les
températures T 1 dans le tableau 17.2. On observe que la température T 1 et son évolution selon
la nature du gaz noble étudié est en bon accord avec les températures d’ébullition mesurées.
Le modèle explique correctement les données expérimentales.
3. Etude de la masse volumique.
a. En phase liquide, le modèle précise que les atomes sont piégés dans le puits de potentiel.
Leur mobilité est donc restreinte et, d’après la courbe 17.15, r est compris entre σ et environ
2σ . La distance inter-atomique est donc proche de r min .
Chaque atome occupe un volume de l’ordre de r 3
min . Le nombre d’atome par unité de volume
est donc n
∗
=
1
r 3
min
.
b. La masse volumique est égale au produit du nombre d’atome par unité de volume n ∗
par la masse m ∗ d’un atome avec m ∗ =
M
N a
. Pour l’application numérique, on n’oublie pas
que l’unité du système international pour la masse est le kg et on reporte les valeurs dans le
tableau 17.2. Là encore, l’accord entre modèle et expérience est satisfaisant mais on voit que
le modèle est incomplet car il s’éloigne des valeurs expérimentales pour l’hélium et le xénon.
4. Etude qualitative de l’évolution de cette masse volumique avec la température.
a. Sur diagramme de phase de la figure 17.15, on observe des trajectoires fermées correspondant à des mouvements périodiques dans un état lié. Lorsque l’énergie mécanique est
faible, les trajectoires de phases sont quasiment elliptiques au voisinage de r min puis, lorsque
l’énergie mécanique augmente, elles se déforment et s’allongent vers les r croissants. Lorsque
l’énergie mécanique est encore plus grande, les trajectoires de phases ne sont plus fermées.
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