Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
17.7 Gestion du recul d’un canon
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le système étudié est le point G représentant le
canon.
1. Les forces s’exerçant sur le canon sont : son poids (vertical), une réaction de support
(verticale) et la tension
− →
T du ressort qui est la seule force horizontale. Au repos
− →
T =
− →
0
donc la longueur du ressort est égale à L 0 .
2. Le déplacement de G est horizontal, donc la seule force qui travaille est la tension ; cette
force est conservative donc l’énergie mécanique est constante. La longueur du ressort étant
égale à x, l’expression de l’énergie mécanique est :
E m =
1
2
M ˙
x
2
+
1
2
k 1 (x − L 0 )
2
.
A l’instant initial, juste après le départ de l’obus, le canon n’a pas encore bougé donc x = L 0
et d’après l’énoncé v = v c . Lorsque G atteint la distance de recul d sa vitesse est nulle et
x = L 0 − d. On écrit l’égalité de l’énergie mécanique dans ces deux cas et on utilise v c =
m
M
v 0
pour obtenir :
1
2
Mv
2
c =
1
2
k 1 d
2
⇒ d =
M
k
v c =
m
√
k 1 M
v 0 ⇒ k 1 =
m 2 v 2
0
d 2 M
.
L’application numérique donne k = 1800 N.m −1 .
3. Si on applique la relation fondamentale de la dynamique en projection sur Ox, il vient :
M ¨
x = −k 1 (x − L 0 ) soit ¨
x + ω 2
0 x = ω 2
0 L 0 , avec ω 0 =
k 1 /M. La solution est :
x = A cos(ω 0 t + φ ) + L 0 .
A t = 0, x = L 0 ce qui donne A cos φ = 0 donc on choisit par exemple φ = −π/2. Ainsi on
peut écrire x = A sin ω 0 t + L 0 . Pour la vitesse, on calcule la dérivée : ˙
x = Aω 0 cos ω 0 t. A t = 0,
˙
x = −mv 0 /M d’où A =
mv 0
Mω 0
et finalement :
x(t) = −
mv 0
Mω 0
sin ω 0 t + L 0 = −
mv 0
√
k 1 M
sin ω 0 t + L 0 .
La valeur absolue de l’amplitude du sinus est égale à d ce qui donne la même valeur que
précédemment.
4. Comme le montre la solution de l’équation trouvée dans la question précédente, si l’on
utilise un ressort seul, le canon va osciller et donc après le recul, il va repartir vers l’avant.
L’amplitude va diminuer petit à petit à cause des frottements inéluctables mais le temps d’immobilisation sera important. On a donc intérêt à ajouter une force de frottement visqueux.
5. La variation d’énergie mécanique est maintenant égale à l’énergie absorbée par le dispositif de freinage, soit ΔE m = −E a . Or initialement E m = E c = Mv 2
c /2 et finalement E m = E p =
k 2 d 2 /2, d’où :
1
2
k 2 d
2
−
1
2
Mv
2
c = −E a ⇒ k 2 =
1
d 2 (Mv
2
c − 2E a ) =
1
d 2
m 2
M
v
2
0 − 2E a
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CORRIGÉS
17.7 Gestion du recul d’un canon
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le système étudié est le point G représentant le
canon.
1. Les forces s’exerçant sur le canon sont : son poids (vertical), une réaction de support
(verticale) et la tension
− →
T du ressort qui est la seule force horizontale. Au repos
− →
T =
− →
0
donc la longueur du ressort est égale à L 0 .
2. Le déplacement de G est horizontal, donc la seule force qui travaille est la tension ; cette
force est conservative donc l’énergie mécanique est constante. La longueur du ressort étant
égale à x, l’expression de l’énergie mécanique est :
E m =
1
2
M ˙
x
2
+
1
2
k 1 (x − L 0 )
2
.
A l’instant initial, juste après le départ de l’obus, le canon n’a pas encore bougé donc x = L 0
et d’après l’énoncé v = v c . Lorsque G atteint la distance de recul d sa vitesse est nulle et
x = L 0 − d. On écrit l’égalité de l’énergie mécanique dans ces deux cas et on utilise v c =
m
M
v 0
pour obtenir :
1
2
Mv
2
c =
1
2
k 1 d
2
⇒ d =
M
k
v c =
m
√
k 1 M
v 0 ⇒ k 1 =
m 2 v 2
0
d 2 M
.
L’application numérique donne k = 1800 N.m −1 .
3. Si on applique la relation fondamentale de la dynamique en projection sur Ox, il vient :
M ¨
x = −k 1 (x − L 0 ) soit ¨
x + ω 2
0 x = ω 2
0 L 0 , avec ω 0 =
k 1 /M. La solution est :
x = A cos(ω 0 t + φ ) + L 0 .
A t = 0, x = L 0 ce qui donne A cos φ = 0 donc on choisit par exemple φ = −π/2. Ainsi on
peut écrire x = A sin ω 0 t + L 0 . Pour la vitesse, on calcule la dérivée : ˙
x = Aω 0 cos ω 0 t. A t = 0,
˙
x = −mv 0 /M d’où A =
mv 0
Mω 0
et finalement :
x(t) = −
mv 0
Mω 0
sin ω 0 t + L 0 = −
mv 0
√
k 1 M
sin ω 0 t + L 0 .
La valeur absolue de l’amplitude du sinus est égale à d ce qui donne la même valeur que
précédemment.
4. Comme le montre la solution de l’équation trouvée dans la question précédente, si l’on
utilise un ressort seul, le canon va osciller et donc après le recul, il va repartir vers l’avant.
L’amplitude va diminuer petit à petit à cause des frottements inéluctables mais le temps d’immobilisation sera important. On a donc intérêt à ajouter une force de frottement visqueux.
5. La variation d’énergie mécanique est maintenant égale à l’énergie absorbée par le dispositif de freinage, soit ΔE m = −E a . Or initialement E m = E c = Mv 2
c /2 et finalement E m = E p =
k 2 d 2 /2, d’où :
1
2
k 2 d
2
−
1
2
Mv
2
c = −E a ⇒ k 2 =
1
d 2 (Mv
2
c − 2E a ) =
1
d 2
m 2
M
v
2
0 − 2E a
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