Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
Avant l’obstacle, le point M se déplace à altitude constante, et la longueur du ressort vaut
Z i − R, on peut alors écrire l’équation d’équilibre :
0 = −mg − k(Z i − R − 0 ).
L’équation du mouvement devient alors :
¨
Z + 2α ˙
Z + ω
2
0 Z = ω
2
0 (h + Z i )
avec α = λ /2m = 5 rad.s
−1 et ω 2
0 = k/m = 50 rad 2 ·s −2 . Le discriminant de l’équation caractéristique r 2 + 2αr + ω 2
0 = 0 est Δ = 4α 2 − 4ω 2
0 = −100 rad 2 ·s −2 . Puisque Δ < 0, le mouvement est pseudo-périodique. Les solutions de l’équation caractéristique sont −α ± i
√
−Δ/2.
La solution particulière de l’équation différentielle est h + Z i . On en déduit l’expression de
Z(t) :
Z(t) = A exp(−αt) cos(Ωt + φ ) + h + Z i
avec Ω =
√
−Δ/2 = 5 rad.s
−1 , A et φ sont des constantes à déterminer avec les condition
initiales. A t = 0 on a ˙
Z = v 0 et Z(t) = Z i . Le calcul de ˙
Z donne ˙
Z = A exp(−αt)(−α cos(Ωt +
φ ) − Ω sin(Ωt + φ )) soit avec Ω = α :
˙
Z = −AΩ exp(−αt)(cos(Ωt + φ ) + sin(Ωt + φ ))
d’où les conditions initales :
A cos φ + h + Z i
= Z i
−AΩ(cosφ + sin φ ) = v 0
⇒
A cos φ = −h
A sin φ = −
v 0
Ω
+ h
On en déduit tan φ =
v 0
hΩ
− 1 = 1 soit φ = π/4 et A = −
√
2h.
b. Pour déterminer la valeur maximale de l’accélération ¨
Z(t) il faut dériver cette expression. On utilise à chaque étape de dérivation le fait que Ω = α. On part de la valeur de ˙
Z déjà
calculée. Il vient :
¨
Z = A exp(−αt)((α
2
− Ω
2
) cos(Ωt + φ ) + 2αΩ sin(Ωt + φ )) = 2A exp(−αt)Ω
2 sin(Ωt + φ )
puis :
...
Z = 2AΩ
2 exp(−αt)(−α sin(Ωt + φ ) + Ω cos(Ωt + φ ))
= 2AΩ
3 exp(−αt)(− sin(Ωt + φ ) + cos(Ωt + φ ))
...
Z = 0 pour tan(Ωt + φ ) = 1. Le premier instant pour lequel ¨
Z est maximale vérifie soit Ωt +
φ = π/4 soit t = 0 puisque φ = π/4.
On en déduit ¨
Z max = 2AΩ 2 sin φ = 2, 5 m.s −2 .
2. On se place dans les conditions critiques en rendant le discriminant nul soit Δ = 0 entraine
α = ω 0 soit m =
λ 2
4k
. L’application numérique donne m = 250 kg. Il faut énormément alléger
le véhicule.
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CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
Avant l’obstacle, le point M se déplace à altitude constante, et la longueur du ressort vaut
Z i − R, on peut alors écrire l’équation d’équilibre :
0 = −mg − k(Z i − R − 0 ).
L’équation du mouvement devient alors :
¨
Z + 2α ˙
Z + ω
2
0 Z = ω
2
0 (h + Z i )
avec α = λ /2m = 5 rad.s
−1 et ω 2
0 = k/m = 50 rad 2 ·s −2 . Le discriminant de l’équation caractéristique r 2 + 2αr + ω 2
0 = 0 est Δ = 4α 2 − 4ω 2
0 = −100 rad 2 ·s −2 . Puisque Δ < 0, le mouvement est pseudo-périodique. Les solutions de l’équation caractéristique sont −α ± i
√
−Δ/2.
La solution particulière de l’équation différentielle est h + Z i . On en déduit l’expression de
Z(t) :
Z(t) = A exp(−αt) cos(Ωt + φ ) + h + Z i
avec Ω =
√
−Δ/2 = 5 rad.s
−1 , A et φ sont des constantes à déterminer avec les condition
initiales. A t = 0 on a ˙
Z = v 0 et Z(t) = Z i . Le calcul de ˙
Z donne ˙
Z = A exp(−αt)(−α cos(Ωt +
φ ) − Ω sin(Ωt + φ )) soit avec Ω = α :
˙
Z = −AΩ exp(−αt)(cos(Ωt + φ ) + sin(Ωt + φ ))
d’où les conditions initales :
A cos φ + h + Z i
= Z i
−AΩ(cosφ + sin φ ) = v 0
⇒
A cos φ = −h
A sin φ = −
v 0
Ω
+ h
On en déduit tan φ =
v 0
hΩ
− 1 = 1 soit φ = π/4 et A = −
√
2h.
b. Pour déterminer la valeur maximale de l’accélération ¨
Z(t) il faut dériver cette expression. On utilise à chaque étape de dérivation le fait que Ω = α. On part de la valeur de ˙
Z déjà
calculée. Il vient :
¨
Z = A exp(−αt)((α
2
− Ω
2
) cos(Ωt + φ ) + 2αΩ sin(Ωt + φ )) = 2A exp(−αt)Ω
2 sin(Ωt + φ )
puis :
...
Z = 2AΩ
2 exp(−αt)(−α sin(Ωt + φ ) + Ω cos(Ωt + φ ))
= 2AΩ
3 exp(−αt)(− sin(Ωt + φ ) + cos(Ωt + φ ))
...
Z = 0 pour tan(Ωt + φ ) = 1. Le premier instant pour lequel ¨
Z est maximale vérifie soit Ωt +
φ = π/4 soit t = 0 puisque φ = π/4.
On en déduit ¨
Z max = 2AΩ 2 sin φ = 2, 5 m.s −2 .
2. On se place dans les conditions critiques en rendant le discriminant nul soit Δ = 0 entraine
α = ω 0 soit m =
λ 2
4k
. L’application numérique donne m = 250 kg. Il faut énormément alléger
le véhicule.
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