Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
Sur la courbe, on choisit par exemple le premier croisement avec l’axe des abscisses (x 1 =
x max = 3,4 cm) et le septième (x 2 = 2,2 cm). L’écart temporel entre les deux positions est 3T
d’où :
δ =
1
3
ln
3, 4 − 2
2, 2 − 2
= 0, 65.
On en déduit donc τ = 1,0 s.
f. On rappelle que Ω = ω 0
1 −
1
4Q 2 et τ =
2Q
ω 0
. Le produit Ωτ =
4Q 2 − 1 permet de
calculer Q soit Q =
Ω 2 τ 2 + 1/2 ; l’application numérique donne Q = 4, 8. On peut alors
calculer ω 0 =
Ω
1 −
1
4Q 2
= 9,65 rad·s
−1 .
g. La constante de raideur du ressort est k = mω
2
0 = 18,6 N·m
−1 . Le coefficient de frottement est obtenu avec l’expression de Q : λ =
√
km/Q = 0,40 kg·s
−1 . Pour déterminer F c , il
faut utiliser X 0 = 0 + F c /k qui correspond à la position de l’attracteur sur le portrait de phase
soit X 0 = 2,0 cm. On en déduit F c = 0,19 N.
17.6 Modélisation d’un amortisseur
1. On considère le référentiel terrestre galiléen. Le système est le véhicule modélisé par le
point M. On représente sur la figure (17.18) le système à trois instants : juste avant de franchir
le défaut, juste après avoir franchi le défaut (instant pris comme origine des temps), instant t
ultérieur. Le défaut de chaussée a été exagéré sur la figure pour plus de clarté. On note Z i la
cote de M avant le défaut.
O
O
O
M
M
M
R
R
Z
Z i
h
− → u z
− → u x
Figure 17.18
a. Les forces s’exerçant sur M sont : le poids m − → g , la tension du ressort
− →
T = −k( − 0 ) − → u z
et la force de frottement
− →
f v . D’après le schéma, la longueur du ressort est OM = = Z − h −
Z 0 = Z − h − R. La relation fondamentale en projection sur l’axe Oz donne :
m ¨
Z = −mg − k(Z − h − R − 0 ) − λ ˙
Z.
645
CORRIGÉS
Sur la courbe, on choisit par exemple le premier croisement avec l’axe des abscisses (x 1 =
x max = 3,4 cm) et le septième (x 2 = 2,2 cm). L’écart temporel entre les deux positions est 3T
d’où :
δ =
1
3
ln
3, 4 − 2
2, 2 − 2
= 0, 65.
On en déduit donc τ = 1,0 s.
f. On rappelle que Ω = ω 0
1 −
1
4Q 2 et τ =
2Q
ω 0
. Le produit Ωτ =
4Q 2 − 1 permet de
calculer Q soit Q =
Ω 2 τ 2 + 1/2 ; l’application numérique donne Q = 4, 8. On peut alors
calculer ω 0 =
Ω
1 −
1
4Q 2
= 9,65 rad·s
−1 .
g. La constante de raideur du ressort est k = mω
2
0 = 18,6 N·m
−1 . Le coefficient de frottement est obtenu avec l’expression de Q : λ =
√
km/Q = 0,40 kg·s
−1 . Pour déterminer F c , il
faut utiliser X 0 = 0 + F c /k qui correspond à la position de l’attracteur sur le portrait de phase
soit X 0 = 2,0 cm. On en déduit F c = 0,19 N.
17.6 Modélisation d’un amortisseur
1. On considère le référentiel terrestre galiléen. Le système est le véhicule modélisé par le
point M. On représente sur la figure (17.18) le système à trois instants : juste avant de franchir
le défaut, juste après avoir franchi le défaut (instant pris comme origine des temps), instant t
ultérieur. Le défaut de chaussée a été exagéré sur la figure pour plus de clarté. On note Z i la
cote de M avant le défaut.
O
O
O
M
M
M
R
R
Z
Z i
h
− → u z
− → u x
Figure 17.18
a. Les forces s’exerçant sur M sont : le poids m − → g , la tension du ressort
− →
T = −k( − 0 ) − → u z
et la force de frottement
− →
f v . D’après le schéma, la longueur du ressort est OM = = Z − h −
Z 0 = Z − h − R. La relation fondamentale en projection sur l’axe Oz donne :
m ¨
Z = −mg − k(Z − h − R − 0 ) − λ ˙
Z.
645