Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
17.5 Etude d’un oscillateur à l’aide de son portrait de phase
1. Equation du mouvement
a. Dans le référentiel du laboratoire considéré galiléen, la relation fondamentale de la
dynamique appliquée à l’oscillateur M donne en projection sur l’axe Ox :
m ¨
x = −k(x − 0 ) − λ ˙
x + F c ⇒ ¨
x +
λ
m
˙
x +
k
m
x =
k
m
0 +
F c
m
On peut donc mettre l’équation sous la forme donnée par l’énoncé avec ω 0 =
k/m, Q =
√
km/λ et X 0 = 0 + F c /k.
b. Si la solution est pseudo-périodique, alors les solutions de l’équation caractéristique
sont :
−
ω 0
2Q
± iω 0
1 −
1
4Q 2 .
On peut définir alors la pseudo pulsation Ω = ω 0
1 −
1
4Q 2 et le temps caractéristique de
décroissance des oscillations τ =
2Q
ω 0
. L’expression de x(t) est alors :
x(t) = A exp(−t/τ) cos(Ωt + φ ) + X 0
où A et φ sont des constantes dépendant des conditions initiales.
2. Etude du portrait de phase.
a. Le mobile oscille de part et d’autre de la position finale : il s’agit d’un mouvement
pseudo périodique.
b. Au début du mouvement, le point représentatif de l’état du mobile est A et à la fin il
s’agit du point B (on rappelle qu’un portrait de phase est décrit dans le sens horaire). Initialement le mobile est donc en x = 0 et sa vitesse est v 0 = 2 cm·s −1 . A la fin M est immobile en
x = 2 cm.
c. La vitesse maximale atteinte correspond au maximum de la courbe, soit v = 16,5 cm·s −1
et l’élongation maximale correspond à l’intersection avec l’axe des abscisses la plus à droite
soit x max 3,4 cm.
d. Entre deux croisements avec l’axe des abscisses il se passe une demi pseudo-période.
Pour avoir une valeur plus précise, on calcule les intervalles de temps entre chaque date
donnée dans l’énoncé ce qui donne quatre valeurs de T /2 dont on fait la moyenne. Les quatre
valeurs obtenues sont : 0,34 s ; 0,32 s ; 0,33 s et 0,32 s ; ce qui fait une moyenne de 0,3275 s
soit en arrondissant on a T = 0,65 s et Ω = 2π/T = 9,6 rad·s
−1 .
e. En utilisant l’expression générale de x(t) déterminée au début de l’exercice et sachant
que x B = X 0 (position finale atteinte lorsque t → ∞, on a :
δ =
1
n
ln
A exp (−t/τ) cos(Ωt + φ )
A exp (−(t + nT )/τ) cos(Ω(t + nT ) + φ )
=
1
n
ln
exp (nT /τ)
=
T
τ
.
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CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
17.5 Etude d’un oscillateur à l’aide de son portrait de phase
1. Equation du mouvement
a. Dans le référentiel du laboratoire considéré galiléen, la relation fondamentale de la
dynamique appliquée à l’oscillateur M donne en projection sur l’axe Ox :
m ¨
x = −k(x − 0 ) − λ ˙
x + F c ⇒ ¨
x +
λ
m
˙
x +
k
m
x =
k
m
0 +
F c
m
On peut donc mettre l’équation sous la forme donnée par l’énoncé avec ω 0 =
k/m, Q =
√
km/λ et X 0 = 0 + F c /k.
b. Si la solution est pseudo-périodique, alors les solutions de l’équation caractéristique
sont :
−
ω 0
2Q
± iω 0
1 −
1
4Q 2 .
On peut définir alors la pseudo pulsation Ω = ω 0
1 −
1
4Q 2 et le temps caractéristique de
décroissance des oscillations τ =
2Q
ω 0
. L’expression de x(t) est alors :
x(t) = A exp(−t/τ) cos(Ωt + φ ) + X 0
où A et φ sont des constantes dépendant des conditions initiales.
2. Etude du portrait de phase.
a. Le mobile oscille de part et d’autre de la position finale : il s’agit d’un mouvement
pseudo périodique.
b. Au début du mouvement, le point représentatif de l’état du mobile est A et à la fin il
s’agit du point B (on rappelle qu’un portrait de phase est décrit dans le sens horaire). Initialement le mobile est donc en x = 0 et sa vitesse est v 0 = 2 cm·s −1 . A la fin M est immobile en
x = 2 cm.
c. La vitesse maximale atteinte correspond au maximum de la courbe, soit v = 16,5 cm·s −1
et l’élongation maximale correspond à l’intersection avec l’axe des abscisses la plus à droite
soit x max 3,4 cm.
d. Entre deux croisements avec l’axe des abscisses il se passe une demi pseudo-période.
Pour avoir une valeur plus précise, on calcule les intervalles de temps entre chaque date
donnée dans l’énoncé ce qui donne quatre valeurs de T /2 dont on fait la moyenne. Les quatre
valeurs obtenues sont : 0,34 s ; 0,32 s ; 0,33 s et 0,32 s ; ce qui fait une moyenne de 0,3275 s
soit en arrondissant on a T = 0,65 s et Ω = 2π/T = 9,6 rad·s
−1 .
e. En utilisant l’expression générale de x(t) déterminée au début de l’exercice et sachant
que x B = X 0 (position finale atteinte lorsque t → ∞, on a :
δ =
1
n
ln
A exp (−t/τ) cos(Ωt + φ )
A exp (−(t + nT )/τ) cos(Ω(t + nT ) + φ )
=
1
n
ln
exp (nT /τ)
=
T
τ
.
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